Упр.612 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение 1/x = ах + b, где а и b — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа а и b.

1) Преобразуем квадратный трёхчлен к виду полного квадрата:

$$\frac13x^2+2x+4=\frac13(x^2+6x+12)=\frac13(x^2+6x+9+3)=\frac13(x+3)^2+1.$$

Так как $$\frac13(x+3)^2 \ge 0,$$ наименьшее значение выражения достигается при

$$x+3=0 \Rightarrow x=-3.$$

Тогда

$$\frac13(x+3)^2+1=1.$$

Значит, наименьшее значение трёхчлена равно $$1$$.

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac1x=ax+b.$$

Число корней равно числу точек пересечения графиков $$y=\frac1x$$ и $$y=ax+b$$.

а) Если $$a>0,\ b>0,$$ то прямая пересекает гиперболу в двух точках — уравнение имеет два корня.

б) Если $$a>0,\ b<0,$$ то также получается две точки пересечения — два корня.

в) Если $$a<0,\ -2<b<2,$$ то прямая не пересекает гиперболу — корней нет.

г) Если $$a<0,\ b=\pm 2,$$ то прямая касается графика в одной точке — один корень.

д) Если $$a<0,\ b<-2$$ или $$b>2,$$ то снова две точки пересечения — два корня.

е) Если $$a=0,\ b<0,$$ то уравнение имеет один корень.

ж) Если $$a=0,\ b>0,$$ то уравнение имеет один корень.

з) Если $$a=0,\ b=0,$$ то корней нет.

Ответ

1) При $$x=-3$$ трёхчлен принимает наименьшее значение $$1$$.

2) $$2$$ корня — при $$a>0,\ b\ne 0$$; при $$a<0,\ b<-2$$ или $$b>2$$.
$$1$$ корень — при $$a<0,\ b=\pm 2$$, а также при $$a=0,\ b\ne 0$$.
Корней нет — при $$a<0,\ -2<b<2$$ и при $$a=0,\ b=0$$.