Упр.611 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Решите графически уравнение:
а) 6/x=x;
б) 6/x=-x+6.

1) Преобразуем трёхчлен к виду полного квадрата:

$$ 2x^2-4x+6=2(x^2-2x+3)=2(x^2-2x+1+2)=2(x-1)^2+4. $$

Так как $$2(x-1)^2 \ge 0,$$ наименьшее значение выражения достигается при $$x=1.$$

Тогда

$$ 2(x-1)^2+4=4. $$

Значит, наименьшее значение трёхчлена равно $$4.$$

2) Решим графически уравнения.

а) $$\frac{6}{x}=x.$$

Рассматриваем графики функций $$y=\frac{6}{x}$$ и $$y=x.$$ Их точки пересечения удовлетворяют уравнению

$$ \frac{6}{x}=x \quad \Rightarrow \quad x^2=6. $$

Отсюда

$$ x=\pm\sqrt{6}. $$

б) $$\frac{6}{x}=-x+6.$$

Рассматриваем графики функций $$y=\frac{6}{x}$$ и $$y=-x+6.$$ Точки пересечения находятся из уравнения

$$ \frac{6}{x}=-x+6. $$

Умножим на $$x$$, учитывая, что $$x\ne 0$$:

$$ 6=-x^2+6x $$

$$ x^2-6x+6=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}. $$

Ответ

Наименьшее значение трёхчлена $$2x^2-4x+6$$ равно $$4$$ при $$x=1$$.

а) $$x=\pm\sqrt{6}$$;

б) $$x=3-\sqrt{3},\; 3+\sqrt{3}.$$