Упр.610 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

x^2 — 6x + 11 и -x^2 + 6x — 11.
Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.
(Для работы в парах.) Решите уравнение:
1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.

а) Преобразуем первый трёхчлен, выделив полный квадрат:

$$x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=(x-3)^2+2.$$

Так как $$\,(x-3)^2\ge 0,$$ то

$$x^2-6x+11\ge 2>0.$$

Значит, этот трёхчлен не принимает отрицательных значений.

Для второго трёхчлена:

$$-x^2+6x-11=-(x^2-6x+11)=-\bigl((x-3)^2+2\bigr)=-(x-3)^2-2.$$

Так как $$\,(x-3)^2\ge 0,$$ то

$$-x^2+6x-11\le -2<0.$$

Следовательно, второй трёхчлен не принимает положительных значений.

б) Решим уравнение:

$$1+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{5-x^2}}}=1\frac{7}{24}.$$

Преобразуем правую часть:

$$1\frac{7}{24}=\frac{31}{24}.$$

Тогда

$$\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{5-x^2}}}=\frac{7}{24}.$$

Найдём последовательно:

$$2+\frac{1}{5-x^2}=\frac{2(5-x^2)+1}{5-x^2}=\frac{11-2x^2}{5-x^2},$$

$$3+\frac{1}{2+\frac{1}{5-x^2}}=3+\frac{5-x^2}{11-2x^2}=\frac{38-7x^2}{11-2x^2}.$$

Тогда исходное уравнение принимает вид

$$1+\frac{11-2x^2}{38-7x^2}=\frac{31}{24}.$$

Отсюда

$$\frac{49-9x^2}{38-7x^2}=\frac{31}{24}.$$

ОДЗ: $$38-7x^2\ne 0,$$ то есть $$x^2\ne \frac{38}{7}.$$

Решаем уравнение:

$$24(49-9x^2)=31(38-7x^2),$$

$$1176-216x^2=1178-217x^2,$$

$$x^2=2.$$

Следовательно,

$$x=\pm\sqrt{2}.$$

Ответ

а) $$x^2-6x+11\ge 0,$$ $$-x^2+6x-11\le 0.$$

б) $$x=\pm\sqrt{2}.$$