Упр.606 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите значение переменной у, при котором:

Подробный ответ

Пусть квадратный трёхчлен имеет вид $$ax^2+bx+c$$.
По условию сумма коэффициентов равна нулю, значит
$$a+b+c=0.$$
Свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента:
$$c=4a.$$
Подставим это в первое равенство:
$$ a+b+4a=0 \\ 5a+b=0 \\ b=-5a. $$
Тогда трёхчлен можно записать так:
$$ax^2-5ax+4a=a(x^2-5x+4).$$
Так как $$a\ne 0$$, найдём корни уравнения
$$ x^2-5x+4=0. $$
$$ D=25-16=9. $$
$$ x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}. $$
$$ x_1=1,\quad x_2=4. $$
а)
$$ \frac{3y+9}{3y-1}+\frac{2y-13}{2y+5}=2, $$
ОДЗ: $$y\ne \frac13,\; y\ne -\frac52.$$
$$ (3y+9)(2y+5)+(2y-13)(3y-1)=2(3y-1)(2y+5) $$
$$ 6y^2+15y+18y+45+6y^2-2y-39y+13=2(6y^2+15y-2y-5) $$
$$ 12y^2-8y+58=12y^2+26y-10 $$
$$ 34y=68,\quad y=2. $$
б)
$$ \frac{5y+13}{5y+4}-\frac{4-6y}{3y-1}=3, $$
ОДЗ: $$y\ne -\frac45,\; y\ne \frac13.$$
$$ (5y+13)(3y-1)-(4-6y)(5y+4)=3(5y+4)(3y-1) $$
$$ 15y^2-5y+39y-13-20y-16+30y^2+24y=3(15y^2-5y+12y-4) $$
$$ 45y^2+38y-29=45y^2+21y-12 $$
$$ 17y=17,\quad y=1. $$
в)
$$ \frac{y+1}{y-5}+\frac{10}{y+5}=\frac{y+1}{y-5}\cdot\frac{10}{y+5}, $$
ОДЗ: $$y\ne \pm 5.$$
$$ (y+1)(y+5)+10(y-5)=10(y+1) $$
$$ y^2+5y+y+5+10y-50-10y-10=0 $$
$$ y^2+6y-55=0 $$
$$ D=36+220=256 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-6\pm 16}{2} $$
$$ y_1=-11,\quad y_2=5. $$
Число $$5$$ не подходит, так как не входит в ОДЗ. Значит, $$y=-11.$$
г)
$$ \frac{6}{y-4}-\frac{y}{y+2}=\frac{6}{y-4}\cdot\frac{y}{y+2}, $$
ОДЗ: $$y\ne 4,\; y\ne -2.$$
$$ 6(y+2)-y(y-4)=6y $$
$$ 6y+12-y^2+4y-6y=0 $$
$$ -y^2+4y+12=0 $$
$$ y^2-4y-12=0 $$
$$ D=16+48=64 $$
$$ y_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2} $$
$$ y_1=-2,\quad y_2=6. $$
Число $$-2$$ не подходит, так как не входит в ОДЗ. Значит, $$y=6.$$