Упр.606 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, а его свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Найдите корни этого трёхчлена.
- Найдите значение переменной $$у$$, при котором:
Пусть квадратный трёхчлен имеет вид $$ax^2+bx+c$$.
По условию сумма коэффициентов равна нулю, значит
$$a+b+c=0.$$
Свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента:
$$c=4a.$$
Подставим это в первое равенство:
$$a+b+4a=0 \\ 5a+b=0 \\ b=-5a.$$
Тогда трёхчлен можно записать так:
$$ax^2-5ax+4a=a(x^2-5x+4).$$
Так как $$a\ne 0$$, найдём корни уравнения
$$x^2-5x+4=0.$$
$$D=25-16=9.$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$
$$x_1=1,\quad x_2=4.$$
а)
$$\frac{3y+9}{3y-1}+\frac{2y-13}{2y+5}=2,$$
ОДЗ: $$y\ne \frac13,\; y\ne -\frac52.$$
$$(3y+9)(2y+5)+(2y-13)(3y-1)=2(3y-1)(2y+5)$$
$$6y^2+15y+18y+45+6y^2-2y-39y+13=2(6y^2+15y-2y-5)$$
$$12y^2-8y+58=12y^2+26y-10$$
$$34y=68,\quad y=2.$$
б)
$$\frac{5y+13}{5y+4}-\frac{4-6y}{3y-1}=3,$$
ОДЗ: $$y\ne -\frac45,\; y\ne \frac13.$$
$$(5y+13)(3y-1)-(4-6y)(5y+4)=3(5y+4)(3y-1)$$
$$15y^2-5y+39y-13-20y-16+30y^2+24y=3(15y^2-5y+12y-4)$$
$$45y^2+38y-29=45y^2+21y-12$$
$$17y=17,\quad y=1.$$
в)
$$\frac{y+1}{y-5}+\frac{10}{y+5}=\frac{y+1}{y-5}\cdot\frac{10}{y+5},$$
ОДЗ: $$y\ne \pm 5.$$
$$(y+1)(y+5)+10(y-5)=10(y+1)$$
$$y^2+5y+y+5+10y-50-10y-10=0$$
$$y^2+6y-55=0$$
$$D=36+220=256$$
$$y_{1,2}=\frac{-6\pm 16}{2}$$
$$y_1=-11,\quad y_2=5.$$
Число $$5$$ не подходит, так как не входит в ОДЗ. Значит, $$y=-11.$$
г)
$$\frac{6}{y-4}-\frac{y}{y+2}=\frac{6}{y-4}\cdot\frac{y}{y+2},$$
ОДЗ: $$y\ne 4,\; y\ne -2.$$
$$6(y+2)-y(y-4)=6y$$
$$6y+12-y^2+4y-6y=0$$
$$-y^2+4y+12=0$$
$$y^2-4y-12=0$$
$$D=16+48=64$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2}$$
$$y_1=-2,\quad y_2=6.$$
Число $$-2$$ не подходит, так как не входит в ОДЗ. Значит, $$y=6.$$
Ответ
Корни трёхчлена: $$1$$ и $$4$$.
а) $$y=2$$; б) $$y=1$$; в) $$y=-11$$; г) $$y=6$$.
