Упр.598 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Какие из чисел $$-2$$, $$-1$$, $$0$$, $$2$$, $$3$$ являются корнями многочлена $$x^3-3x^2-4x+12$$?
Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно $$\frac{13}{12}$$, другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника.

Подробный ответ

1) Проверим, какие из чисел $$-2,\,-1,\,0,\,2,\,3$$ являются корнями многочлена $$x^3-3x^2-4x+12$$.

Подставим значения:

$$\begin{aligned} x=-2:&\quad (-2)^3-3\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)+12=-8-12+8+12=0,\\ x=-1:&\quad (-1)^3-3\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)+12=-1-3+4+12=12\neq 0,\\ x=0:&\quad 0^3-3\cdot 0^2-4\cdot 0+12=12\neq 0,\\ x=2:&\quad 2^3-3\cdot 2^2-4\cdot 2+12=8-12-8+12=0,\\ x=3:&\quad 3^3-3\cdot 3^2-4\cdot 3+12=27-27-12+12=0. \end{aligned}$$

Значит, корни многочлена: $$-2,\ 2,\ 3.$$

2) Найдём периметр прямоугольного треугольника.

Пусть катет равен $$12x$$, тогда гипотенуза равна $$13x$$, а другой катет равен $$15$$ см. По теореме Пифагора:

$$(12x)^2+15^2=(13x)^2$$

$$144x^2+225=169x^2$$

$$225=25x^2$$

$$x^2=9,\quad x=3$$

Тогда:

$$12x=12\cdot 3=36\text{ см},\qquad 13x=13\cdot 3=39\text{ см}$$

Периметр:

$$P=15+36+39=90\text{ см}$$