Упр.598 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Какие из чисел -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями многочлена x^3 — 3x^2 — 4x + 12? Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 13/12, другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 makar8 598 827

Подробный ответ

1) Проверим, какие из чисел $$-2,\,-1,\,0,\,2,\,3$$ являются корнями многочлена $$x^3-3x^2-4x+12$$.

Подставим значения:

$$ \begin{aligned} x=-2:&\quad (-2)^3-3\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)+12=-8-12+8+12=0,\\ x=-1:&\quad (-1)^3-3\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)+12=-1-3+4+12=12\neq 0,\\ x=0:&\quad 0^3-3\cdot 0^2-4\cdot 0+12=12\neq 0,\\ x=2:&\quad 2^3-3\cdot 2^2-4\cdot 2+12=8-12-8+12=0,\\ x=3:&\quad 3^3-3\cdot 3^2-4\cdot 3+12=27-27-12+12=0. \end{aligned} $$

Значит, корни многочлена: $$-2,\ 2,\ 3.$$

2) Найдём периметр прямоугольного треугольника.

Пусть катет равен $$12x$$, тогда гипотенуза равна $$13x$$, а другой катет равен $$15$$ см. По теореме Пифагора:

$$ (12x)^2+15^2=(13x)^2 $$

$$ 144x^2+225=169x^2 $$

$$ 225=25x^2 $$

$$ x^2=9,\quad x=3 $$

Тогда:

$$ 12x=12\cdot 3=36\text{ см},\qquad 13x=13\cdot 3=39\text{ см} $$

Периметр:

$$ P=15+36+39=90\text{ см} $$