Упр.596 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно $$\frac{13}{12}$$, другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника.
2. При каких значениях $$x$$ верно равенство:
   а) $$(3x+1)^2=3x+1$$;
   б) $$(3x+1)^2=3(x+1)$$;
   в) $$(3x+1)^2=(2x-5)^2$$;
   г) $$(3x+4)^2=4(x+3)$$;
   д) $$4(x+3)^2=(2x+6)^2$$;
   е) $$(6x+3)^2=(x-4)^2$$?

1. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$12x$$ и $$15$$ см, а гипотенуза — $$13x$$. Тогда по теореме Пифагора:

   $$(12x)^2+15^2=(13x)^2$$

   $$144x^2+225=169x^2$$

   $$25x^2=225$$

   $$x^2=9,\quad x=3$$

   Тогда стороны треугольника:

   $$12x=36\text{ см},\quad 13x=39\text{ см}$$

   Периметр:

   $$P=36+15+39=90\text{ см}$$

2. а) $$(3x+1)^2=3x+1$$

   $$(3x+1)^2-(3x+1)=0$$

   $$(3x+1)(3x+1-1)=0$$

   $$(3x+1)\cdot 3x=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-\frac13$$

3. б) $$(3x+1)^2=3(x+1)$$

   $$9x^2+6x+1=3x+3$$

   $$9x^2+3x-2=0$$

   $$D=3^2-4\cdot 9\cdot(-2)=81$$

   $$x=\frac{-3\pm 9}{18}$$

   $$x=-\frac23 \text{ или } x=\frac13$$

4. в) $$(3x+1)^2=(2x-5)^2$$

   $$9x^2+6x+1=4x^2-20x+25$$

   $$5x^2+26x-24=0$$

   $$D=26^2-4\cdot 5\cdot(-24)=1156$$

   $$x=\frac{-26\pm 34}{10}$$

   $$x=-6 \text{ или } x=\frac45$$

5. г) $$(3x+4)^2=4(x+3)$$

   $$9x^2+24x+16=4x+12$$

   $$9x^2+20x+4=0$$

   $$D=20^2-4\cdot 9\cdot 4=256$$

   $$x=\frac{-20\pm 16}{18}$$

   $$x=-2 \text{ или } x=-\frac29$$

6. д) $$4(x+3)^2=(2x+6)^2$$

   Так как $$2x+6=2(x+3)$$, то

   $$4(x+3)^2=4(x+3)^2$$

   Равенство верно при любом $$x$$.

7. е) $$(6x+3)^2=(x-4)^2$$

   $$36x^2+36x+9=x^2-8x+16$$

   $$35x^2+44x-7=0$$

   $$D=44^2-4\cdot 35\cdot(-7)=2916$$

   $$x=\frac{-44\pm 54}{70}$$

   $$x=-\frac{49}{35}=-\frac75 \text{ или } x=\frac17$$

Ответ

Периметр треугольника: $$90$$ см.

а) $$x=0,\ -\frac13$$; б) $$x=-\frac23,\ \frac13$$; в) $$x=-6,\ \frac45$$; г) $$x=-2,\ -\frac29$$; д) $$x$$ — любое число; е) $$x=-\frac75,\ \frac17$$.