Упр.594 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (3х + 1)2 = 3х +1;
б) (3х + 1)2 = 3(х + 1);
в) (3х + 1)2 = (2х — 5)2;
г) (3х + 4)2 = 4(х + 3);
д) 4(х + 3)2 = (2х + 6)2;
е) (6х + 3)2 = (х — 4)2? Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:
а) 3х2 + 113x — 7 = 0;
б) 5х2 — 291x — 16 = 0.

1. а) $$\left(3x+1\right)^2=3x+1$$

   $$\left(3x+1\right)^2-\left(3x+1\right)=0$$
   $$\left(3x+1\right)\left(3x\right)=0$$
   $$3x+1=0 \text{ или } 3x=0$$
   $$x=-\frac13,\; x=0$$

2. б) $$\left(3x+1\right)^2=3(x+1)$$

   $$9x^2+6x+1=3x+3$$
   $$9x^2+3x-2=0$$
   $$D=3^2-4\cdot 9\cdot(-2)=9+72=81$$
   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm 9}{18}$$
   $$x_1=-\frac23,\quad x_2=\frac13$$

3. в) $$\left(3x+1\right)^2=\left(2x-5\right)^2$$

   $$9x^2+6x+1=4x^2-20x+25$$
   $$5x^2+26x-24=0$$
   $$D=26^2-4\cdot 5\cdot(-24)=676+480=1156$$
   $$x_{1,2}=\frac{-26\pm 34}{10}$$
   $$x_1=-6,\quad x_2=\frac45$$

4. г) $$\left(3x+4\right)^2=4(x+3)$$

   $$9x^2+24x+16=4x+12$$
   $$9x^2+20x+4=0$$
   $$D=20^2-4\cdot 9\cdot 4=400-144=256$$
   $$x_{1,2}=\frac{-20\pm 16}{18}$$
   $$x_1=-2,\quad x_2=-\frac29$$

5. д) $$4(x+3)^2=\left(2x+6\right)^2$$

   $$4(x^2+6x+9)=4x^2+24x+36$$
   $$4x^2+24x+36=4x^2+24x+36$$
   $$0=0$$
   Значит, равенство верно при любом $$x$$.

6. е) $$\left(6x+3\right)^2=\left(x-4\right)^2$$

   $$36x^2+36x+9=x^2-8x+16$$
   $$35x^2+44x-7=0$$
   $$D=44^2-4\cdot 35\cdot(-7)=1936+980=2916$$
   $$x_{1,2}=\frac{-44\pm 54}{70}$$
   $$x_1=-\frac{7}{5},\quad x_2=\frac17$$

Докажем, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков.

1. а) $$3x^2+113x-7=0$$

   По теореме Виета:
   $$x_1+x_2=-\frac{113}{3}<0,\qquad x_1x_2=-\frac73<0$$ Произведение корней отрицательно, значит корни разных знаков.

2. б) $$5x^2-291x-16=0$$

   По теореме Виета:
   $$x_1+x_2=\frac{291}{5}>0,\qquad x_1x_2=-\frac{16}{5}<0$$ Произведение корней отрицательно, значит корни разных знаков.

Ответ

а) $$x=0,\; -\frac13$$;
б) $$x=-\frac23,\; \frac13$$;
в) $$x=-6,\; \frac45$$;
г) $$x=-2,\; -\frac29$$;
д) $$x\in\mathbb{R}$$;
е) $$x=-\frac75,\; \frac17$$.
Во втором задании корни разных знаков.