Упр.593 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
Для работы в парах.
Уравнение $$x^2+5x+m=0$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2$$. Найдите, при каком значении $$m$$:
а) сумма квадратов корней равна 35;
б) сумма кубов корней равна 40.
- Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б).
- Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
- Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки.
Для работы в парах.
Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:
а) $$x^2+7x-1=0$$;
б) $$x^2-7x+1=0$$;
в) $$5x^2+17x+16=0$$;
г) $$19x^2-23x+5=0$$;
д) $$2x^2+5\sqrt{3}x+11=0$$;
е) $$11x^2-9x+7-5\sqrt{2}=0$$.
- Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.
- Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.
- Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.
Пусть корни уравнения $$x^2+5x+m=0$$ — это $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:
$$x_1+x_2=-5,\qquad x_1x_2=m.$$
а) По условию:
$$x_1^2+x_2^2=35.$$
Используем формулу:
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$
Тогда
$$35=(-5)^2-2m,$$
$$35=25-2m,$$
$$-2m=10,$$
$$m=-5.$$
б) По условию:
$$x_1^3+x_2^3=40.$$
Используем формулу:
$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\bigr).$$
Так как
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2,$$
то
$$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2.$$
Следовательно,
$$40=(-5)\bigl((-5)^2-3m\bigr),$$
$$40=-5(25-3m),$$
$$40=-125+15m,$$
$$15m=165,$$
$$m=11.$$
Ответ
а) $$m=-5$$; б) $$m=11$$.
