Упр.592 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:
   а) $$3x^2+113x-7=0$$;
   б) $$5x^2-291x-16=0$$.
2. Известно, что сумма квадратов корней уравнения $$x^2-3x+a=0$$ равна 65. Найдите $$a$$.

Обозначим корни уравнения $$x^2-3x+a=0$$ через $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=3,\quad x_1x_2=a.$$

По условию сумма квадратов корней равна $$65$$, значит

$$x_1^2+x_2^2=65.$$

Используем формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$65=3^2-2a.$$

$$65=9-2a$$

$$2a=9-65=-56$$

$$a=-28.$$

Ответ

$$a=-28$$