Упр.591 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) х2 + 7х — 1 = 0;
б) х2 — 7х + 1 = 0;
в) 5х2 + 17х + 16=0;
г) 19х2 — 23х + 5 = 0;
д) 2х2 + 5 корень 3х + 11 = 0;
е) 11х2 — 9х + 7 — 5 корень 2 = 0.
1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены. — Разность квадратов корней квадратного уравнения х2 + 2x + q= 0 равна 12. Найдите q.

Для квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ используем теорему Виета и знак дискриминанта:

• если $$D=b^2-4ac<0$$, то корней нет;
• если $$D>0$$, то уравнение имеет два корня, и по знакам суммы $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ и произведения $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$ определяем их знаки.

1. $$x^2+7x-1=0$$
   
   $$D=7^2-4\cdot1\cdot(-1)=49+4=53>0$$
   
   $$x_1+x_2=-7<0,\quad x_1x_2=-1<0$$
   
   Значит, корни разных знаков: один отрицательный, другой положительный.
2. $$x^2-7x+1=0$$
   
   $$D=(-7)^2-4\cdot1\cdot1=49-4=45>0$$
   
   $$x_1+x_2=7>0,\quad x_1x_2=1>0$$
   
   Значит, оба корня положительные.
3. $$5x^2+17x+16=0$$
   
   $$D=17^2-4\cdot5\cdot16=289-320=-31<0$$
   
   Корней нет.
4. $$19x^2-23x+5=0$$
   
   $$D=(-23)^2-4\cdot19\cdot5=529-380=149>0$$
   
   $$x_1+x_2=\frac{23}{19}>0,\quad x_1x_2=\frac{5}{19}>0$$
   
   Значит, оба корня положительные.
5. $$2x^2+5\sqrt{3}\,x+11=0$$
   
   $$D=(5\sqrt{3})^2-4\cdot2\cdot11=75-88=-13<0$$
   
   Корней нет.
6. $$11x^2-9x+7-5\sqrt{2}=0$$
   
   $$D=(-9)^2-4\cdot11\cdot(7-5\sqrt{2})=81-44(7-5\sqrt{2})$$
   
   $$D=81-308+220\sqrt{2}=-227+220\sqrt{2}>0$$
   
   Значит, уравнение имеет два корня.
   
   $$x_1+x_2=\frac{9}{11}>0,\quad x_1x_2=\frac{7-5\sqrt{2}}{11}<0$$
   
   Следовательно, корни разных знаков: один отрицательный, другой положительный.

Теорема о знаках корней:

• если $$x_1+x_2>0$$ и $$x_1x_2>0$$, то $$x_1>0,\ x_2>0$$;
• если $$x_1+x_2<0$$ и $$x_1x_2>0$$, то $$x_1<0,\ x_2<0$$;
• если $$x_1+x_2>0$$ и $$x_1x_2<0$$, то один корень положительный, другой отрицательный;
• если $$x_1+x_2<0$$ и $$x_1x_2<0$$, то один корень положительный, другой отрицательный.

Для уравнения $$x^2+2x+q=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-2,\quad x_1x_2=q$$

По условию разность квадратов корней равна $$12$$:

$$x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)=12$$

Подставим $$x_1+x_2=-2$$:

$$-2(x_1-x_2)=12$$

$$x_1-x_2=-6$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} x_1+x_2=-2 \\ x_1-x_2=-6 \end{cases} $$

$$2x_1=-8,\quad x_1=-4$$

$$x_2=-2-(-4)=2$$

Тогда

$$q=x_1x_2=(-4)\cdot2=-8$$

Ответ

а) два корня: один отрицательный, другой положительный;
б) два положительных корня;
в) корней нет;
г) два положительных корня;
д) корней нет;
е) два корня: один отрицательный, другой положительный.

$$q=-8$$