Упр.590 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что сумма квадратов корней уравнения $$x^2-3x+a=0$$ равна 65. Найдите $$a$$.
2. Разность корней квадратного уравнения $$x^2+x+c=0$$ равна 6. Найдите $$c$$.

1) Для уравнения $$x^2-3x+a=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=3,\quad x_1x_2=a.$$

По условию сумма квадратов корней равна $$65$$, значит

$$x_1^2+x_2^2=65.$$

Используем формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$65=3^2-2a,$$

$$65=9-2a,$$

$$2a=9-65=-56,$$

$$a=-28.$$

2) Для уравнения $$x^2+x+c=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-1,\quad x_1x_2=c.$$

Разность корней равна $$6$$, значит

$$x_1-x_2=6.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x_1+x_2=-1,\\ x_1-x_2=6. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2x_1=5,\quad x_1=2{,}5.$$

Тогда

$$x_2=-1-2{,}5=-3{,}5.$$

Найдём $$c$$:

$$c=x_1x_2=2{,}5\cdot(-3{,}5)=-8{,}75.$$

Ответ

$$a=-28,\quad c=-8{,}75.$$