Упр.589 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: — Разность квадратов корней квадратного уравнения х2 + 2x + q= 0 равна 12. Найдите q. Разность корней квадратного уравнения х2 — 12х + q = 0 равна 2. Найдите q.

1) Для уравнения $$x^2+2x+q=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-2,\qquad x_1x_2=q.$$

По условию разность квадратов корней равна $$12$$:

$$x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)=12.$$

Подставим $$x_1+x_2=-2$$:

$$-2(x_1-x_2)=12,$$

откуда

$$x_1-x_2=-6.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} x_1+x_2=-2,\\ x_1-x_2=-6. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$2x_1=-8,\qquad x_1=-4.$$

Тогда

$$x_2=-2-(-4)=2.$$

Найдём $$q$$:

$$q=x_1x_2=-4\cdot 2=-8.$$

2) Для уравнения $$x^2-12x+q=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=12,\qquad x_1x_2=q.$$

По условию разность корней равна $$2$$:

$$x_1-x_2=2.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} x_1+x_2=12,\\ x_1-x_2=2. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$2x_1=14,\qquad x_1=7.$$

Тогда

$$x_2=12-7=5.$$

Найдём $$q$$:

$$q=x_1x_2=7\cdot 5=35.$$

Ответ

1) $$q=-8$$; 2) $$q=35$$.