Упр.587 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Разность корней квадратного уравнения $$x^2 — 12x + q = 0$$ равна 2. Найдите $$q$$.
2. Один из корней уравнения $$5x^2 + bx + 24 = 0$$ равен 8. Найдите другой корень и коэффициент $$b$$.

1) Для уравнения $$x^2-12x+q=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=12,\quad x_1x_2=q.$$

По условию разность корней равна $$2$$, значит

$$x_1-x_2=2.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x_1+x_2=12,\\ x_1-x_2=2. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x_1=14,\quad x_1=7.$$

Тогда

$$x_2=12-7=5.$$

Следовательно,

$$q=x_1x_2=7\cdot 5=35.$$

2) Для уравнения $$5x^2+bx+24=0$$ один из корней равен $$8$$. По теореме Виета:

$$x_1x_2=\frac{24}{5},\quad x_1+x_2=-\frac{b}{5}.$$

Пусть $$x_1=8$$. Тогда

$$8x_2=\frac{24}{5},\quad x_2=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}.$$

Теперь найдём $$b$$:

$$8+\frac{3}{5}=-\frac{b}{5}$$

$$\frac{43}{5}=-\frac{b}{5}$$

$$b=-43.$$

Ответ

$$q=35,\quad x_2=\frac{3}{5},\quad b=-43.$$