Упр.571 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Число диагоналей р выпуклого многоугольника вычисляется по формуле р= n (n — 3)/2 , где n — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?

1) Пусть в турнире было $$x$$ участников. Тогда каждый участник сыграл с каждым из остальных по одной партии, значит всего партий было

$$\frac{x(x-1)}{2}=45.$$

Умножим на $$2$$:

$$x(x-1)=90,$$

$$x^2-x-90=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-90)=1+360=361,$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{361}}{2}=\frac{1\pm 19}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{1-19}{2}=-9,$$

$$x_2=\frac{1+19}{2}=10.$$

Отрицательное значение не подходит, значит в турнире было $$10$$ участников.

2) Пусть у выпуклого многоугольника $$n$$ сторон. Тогда число диагоналей равно

$$\frac{n(n-3)}{2}.$$

По условию диагоналей на $$25$$ больше, чем сторон:

$$\frac{n(n-3)}{2}=n+25.$$

Умножим на $$2$$:

$$n(n-3)=2n+50,$$

$$n^2-3n-2n-50=0,$$

$$n^2-5n-50=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-50)=25+200=225,$$

$$n=\frac{5\pm \sqrt{225}}{2}=\frac{5\pm 15}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=\frac{5-15}{2}=-5,$$

$$n_2=\frac{5+15}{2}=10.$$

Подходит только $$n=10$$, значит это десятиугольник.

Ответ

1) $$10$$ участников; 2) десятиугольник.