Упр.570 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причём каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше? Старинная задача. Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

1) Пусть в розыгрыше участвовало $$x$$ команд. Тогда каждая команда сыграла с каждой другой по одному разу, значит, всего матчей было

$$\frac{x(x-1)}{2}=36.$$

Умножим на 2:

$$x(x-1)=72,$$

$$x^2-x-72=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-72)=1+288=289,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 17}{2}.$$

Тогда

$$x_1=\frac{18}{2}=9,\qquad x_2=\frac{-16}{2}=-8.$$

Отрицательное значение не подходит, значит, участвовало 9 команд.

2) Пусть всего было $$x$$ обезьян. Тогда в гроте спряталось

$$\left(\frac{x}{5}-3\right)^2$$

обезьян, а одна обезьяна была видна на дереве. Составим уравнение:

$$\left(\frac{x}{5}-3\right)^2+1=x.$$

Раскроем скобки и умножим на 25:

$$\frac{x^2}{25}-\frac{6x}{5}+9+1=x,$$

$$x^2-30x+250=25x,$$

$$x^2-55x+250=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-55)^2-4\cdot 1\cdot 250=3025-1000=2025,$$

$$x_{1,2}=\frac{55\pm 45}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{100}{2}=50,\qquad x_2=\frac{10}{2}=5.$$

По условию $$\frac{x}{5}-3>0$$, значит, $$\frac{x}{5}>3$$ и $$x>15$$. Поэтому значение $$x=5$$ не подходит.

Следовательно, всего было 50 обезьян.

Ответ

9 команд; 50 обезьян.