Упр.569 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Число диагоналей р выпуклого многоугольника вычисляется по формуле р= n (n — 3)/2 , где n — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон? Старинная задача. Стая обезьян забавляется. Восьмая часть их в квадрате резвится в лесу. Остальные двенадцать кричат на вершине холма. Скажи мне, сколько всего обезьян?

Подробный ответ

1) Число диагоналей выпуклого многоугольника с $$n$$ сторонами равно

$$\frac{n(n-3)}{2}.$$

По условию диагоналей на 25 больше, чем сторон, значит

$$\frac{n(n-3)}{2}=n+25.$$

Умножим на 2:

$$n(n-3)=2n+50$$

$$n^2-3n-2n-50=0$$

$$n^2-5n-50=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-50)=25+200=225,$$

$$\sqrt{D}=15.$$

$$n_{1,2}=\frac{5\pm 15}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=\frac{20}{2}=10,\qquad n_2=\frac{-10}{2}=-5.$$

Отрицательное значение не подходит, значит многоугольник — десятиугольник.

2) Пусть всего обезьян $$x$$. Тогда в лесу резвится $$\left(\frac{x}{8}\right)^2$$ обезьян, а на вершине холма — 12 обезьян. Составим уравнение:

$$\left(\frac{x}{8}\right)^2+12=x.$$

Умножим на 64:

$$x^2+768=64x$$

$$x^2-64x+768=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-64)^2-4\cdot 1\cdot 768=4096-3072=1024,$$

$$\sqrt{D}=32.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{64\pm 32}{2}.$$

$$x_1=\frac{96}{2}=48,\qquad x_2=\frac{32}{2}=16.$$

Проверим: при $$x=48$$ в лесу будет $$\left(\frac{48}{8}\right)^2=36$$ обезьян, и $$36+12=48$$; при $$x=16$$ в лесу будет $$\left(\frac{16}{8}\right)^2=4$$, и $$4+12=16$$. Оба корня подходят.