Упр.555 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (корень 21 + корень 14 — 2 корень 35) * корень 7/7 + корень 20;
б) (корень 5 + корень 3 — корень 15)(корень 5 — корень 3) + корень 75. Существует ли такое значение а, при котором уравнение
х2 — ах + а — 4= 0:
а) не имеет корней; б) имеет один корень; в) имеет два корня?

а) Упростим выражение:

$$ (\sqrt{21}+\sqrt{14}-2\sqrt{35})\cdot \frac{\sqrt7}{7}+\sqrt{20} $$
$$ =(\sqrt7\sqrt3+\sqrt7\sqrt2-2\sqrt5\sqrt7)\cdot \frac{\sqrt7}{7}+2\sqrt5 $$
$$ =\sqrt7(\sqrt3+\sqrt2-2\sqrt5)\cdot \frac{\sqrt7}{7}+2\sqrt5 $$
$$ =\frac{7}{7}(\sqrt3+\sqrt2-2\sqrt5)+2\sqrt5 $$
$$ =\sqrt3+\sqrt2. $$

б)

$$ (\sqrt5+\sqrt3-\sqrt{15})(\sqrt5-\sqrt3)+\sqrt{75} $$
$$ =5-\sqrt{15}+\sqrt{15}-3-\sqrt{75}+\sqrt{45}+\sqrt{75} $$
$$ =2+\sqrt{45} $$
$$ =2+3\sqrt5. $$

в) Рассмотрим уравнение $$x^2-ax+a-4=0$$. Его дискриминант:

$$ D=a^2-4(a-4)=a^2-4a+16=(a-2)^2+12. $$

Так как $$ (a-2)^2 \ge 0 $$, то

$$ D=(a-2)^2+12>0 $$
при любом значении $$a$$.

Значит, уравнение всегда имеет два различных корня и не может не иметь корней или иметь один корень.

Ответ

а) $$\sqrt3+\sqrt2$$; б) $$2+3\sqrt5$$; в) нет такого значения $$a$$, при котором уравнение не имеет корней или имеет один корень; при любом $$a$$ уравнение имеет два корня.