Упр.554 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) x2 — 5x + 6 = 0 и 6×2 — 5x + 1 = 0;
б) 2×2 — 13x + 6 = 0 и 6×2 — 13x + 2 = 0.
1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б).
2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений ах2 + bх + с = 0 и сх2 + bх + а = 0.
3) Докажите, что ваше предположение верно.

а) Решим уравнения:

$$x^2-5x+6=0$$
$$D=25-24=1$$
$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

$$6x^2-5x+1=0$$
$$D=25-24=1$$
$$x_1=\frac{5-1}{12}=\frac13,\quad x_2=\frac{5+1}{12}=\frac12$$

Корни второго уравнения являются обратными к корням первого: $$2 \leftrightarrow \frac12,\quad 3 \leftrightarrow \frac13.$$

б) Решим уравнения:

$$2x^2-13x+6=0$$
$$D=169-48=121=11^2$$
$$x_1=\frac{13-11}{4}=\frac12,\quad x_2=\frac{13+11}{4}=6$$

$$6x^2-13x+2=0$$
$$D=169-48=121=11^2$$
$$x_1=\frac{13-11}{12}=\frac16,\quad x_2=\frac{13+11}{12}=2$$

И здесь корни второго уравнения являются обратными к корням первого: $$\frac12 \leftrightarrow 2,\quad 6 \leftrightarrow \frac16.$$

Следовательно, можно предположить, что если числа $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$ax^2+bx+c=0,$$ то числа $$\frac1{x_1}$$ и $$\frac1{x_2}$$ — корни уравнения $$cx^2+bx+a=0.$$

Докажем это. Пусть $$x\neq 0$$ и $$x$$ — корень уравнения $$ax^2+bx+c=0.$$ Тогда, разделив это уравнение на $$x^2,$$ получим:

$$a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}=0.$$

Обозначим $$y=\frac1x.$$ Тогда

$$ay^2+by+c=0.$$

Если теперь в исходном уравнении поменять местами $$a$$ и $$c,$$ получим уравнение $$cx^2+bx+a=0,$$ у которого корни равны $$\frac1{x_1}$$ и $$\frac1{x_2}$$.

Ответ

Корни уравнений из каждой пары являются взаимно обратными. Для уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ уравнение $$cx^2+bx+a=0$$ имеет корни $$\frac1{x_1}$$ и $$\frac1{x_2}$$.