Упр.552 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) x2 — 5x + 6 = 0 и 6×2 — 5x + 1 = 0;
б) 2×2 — 13x + 6 = 0 и 6×2 — 13x + 2 = 0.
1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б).
2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений ах2 + bх + с = 0 и сх2 + bх + а = 0.
3) Докажите, что ваше предположение верно. При каких значениях х верно равенство:
а) 1/7*x2 = 2х — 7;
б) х2 + 1,2 = 2,6x;
в) 4×2 = 7x + 7,5?

а) Решим уравнения:

$$x^2-5x+6=0$$
$$D=25-24=1$$
$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

$$6x^2-5x+1=0$$
$$D=25-24=1$$
$$x_1=\frac{5-1}{12}=\frac13,\quad x_2=\frac{5+1}{12}=\frac12.$$

Результаты двух уравнений являются обратными числами.

б) Решим уравнения:

$$2x^2-13x+6=0$$
$$D=169-48=121=11^2$$
$$x_1=\frac{13-11}{4}=\frac12,\quad x_2=\frac{13+11}{4}=6.$$

$$6x^2-13x+2=0$$
$$D=169-48=121=11^2$$
$$x_1=\frac{13-11}{12}=\frac16,\quad x_2=\frac{13+11}{12}=2.$$

И здесь корни соответствующих уравнений — обратные числа.

Для уравнений вида $$ax^2+bx+c=0$$ и $$cx^2+bx+a=0$$ корни действительно взаимно обратны.

Докажем это. Пусть $$x$$ — корень уравнения $$ax^2+bx+c=0$$, то есть

$$ax^2+bx+c=0.$$

Разделим обе части на $$x^2$$, где $$x\neq 0$$:

$$a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}=0.$$

Обозначим $$y=\frac1x$$. Тогда получим

$$cy^2+by+a=0,$$

то есть $$y=\frac1x$$ является корнем уравнения $$cx^2+bx+a=0$$. Значит, корни этих уравнений взаимно обратны.

а) Найдём значения $$x$$:

$$\frac17x^2=2x-7$$
$$x^2-14x+49=0$$
$$D=196-196=0$$
$$x=\frac{14}{2}=7.$$

б)

$$x^2+1{,}2=2{,}6x$$
$$5x^2-13x+6=0$$
$$D=169-120=49$$
$$x_1=\frac{13-7}{10}=0{,}6,\quad x_2=\frac{13+7}{10}=2.$$

в)

$$4x^2=7x+7{,}5$$
$$8x^2-14x-15=0$$
$$D=196+480=676=26^2$$
$$x_1=\frac{14-26}{16}=-0{,}75,\quad x_2=\frac{14+26}{16}=2{,}5.$$

Ответ

1) В уравнениях из пунктов а) и б) корни соответствующих уравнений взаимно обратны.
2) $$x=7$$; $$x=0{,}6$$ и $$x=2$$; $$x=-0{,}75$$ и $$x=2{,}5$$.