Упр.511 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Назовите в квадратном уравнении его коэффициенты:
а) $$5x^2-9x+4=0$$;
б) $$x^2+3x-10=0$$;
в) $$-x^2-8x+1=0$$;
г) $$x^2+5x=0$$;
д) $$6x^2-30=0$$;
е) $$9x^2=0$$.
Какие из данных уравнений являются приведёнными квадратными уравнениями? - Докажите, что значение выражения $$\sqrt{b+49-14\sqrt{b}}+\sqrt{b+49+14\sqrt{b}}$$ при $$0\leq b\leq49$$ не зависит от $$b$$.
Квадратное уравнение имеет вид $$ax^2+bx+c=0,$$ где $$a\neq 0.$$
$$5x^2-9x+4=0$$
$$a=5,\quad b=-9,\quad c=4.$$
$$x^2+3x-10=0$$
$$a=1,\quad b=3,\quad c=-10.$$
Это приведённое квадратное уравнение, так как $$a=1.$$
$$-x^2-8x+1=0$$
$$a=-1,\quad b=-8,\quad c=1.$$
$$x^2+5x=0$$
$$a=1,\quad b=5,\quad c=0.$$
Это приведённое квадратное уравнение, так как $$a=1.$$
$$6x^2-30=0$$
$$a=6,\quad b=0,\quad c=-30.$$
$$9x^2=0$$
$$a=9,\quad b=0,\quad c=0.$$
Приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения б) и г).
Докажем, что выражение
$$\sqrt{b+49-14\sqrt{b}}+\sqrt{b+49+14\sqrt{b}}$$
не зависит от $$b$$ при $$0\le b\le 49.$$
Заметим, что
$$b+49-14\sqrt{b}=(\sqrt{b}-7)^2,$$
$$b+49+14\sqrt{b}=(\sqrt{b}+7)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{b+49-14\sqrt{b}}+\sqrt{b+49+14\sqrt{b}}=|\sqrt{b}-7|+|\sqrt{b}+7|.$$
Так как $$0\le b\le 49,$$ то $$0\le \sqrt{b}\le 7,$$ значит
$$|\sqrt{b}-7|=7-\sqrt{b},\qquad |\sqrt{b}+7|=\sqrt{b}+7.$$
Следовательно,
$$|\sqrt{b}-7|+|\sqrt{b}+7|=(7-\sqrt{b})+(\sqrt{b}+7)=14.$$
Значение выражения постоянно и равно $$14.$$
Ответ
а) $$a=5,\ b=-9,\ c=4$$; б) $$a=1,\ b=3,\ c=-10$$; в) $$a=-1,\ b=-8,\ c=1$$; г) $$a=1,\ b=5,\ c=0$$; д) $$a=6,\ b=0,\ c=-30$$; е) $$a=9,\ b=0,\ c=0$$. Приведённые квадратные уравнения: б), г). Значение выражения равно $$14$$.
