Упр.508 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2026 года. Постройте графики функций: $$y=vx$$; $$y=vx-3$$; $$y=vx+3$$; $$y=v(x-3)$$; $$y=v(x+3)$$.
2. Задание учебника 2019 года. При каком значении $$x$$ дробь $$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$$ принимает наибольшее значение?

График функции $$y=\sqrt{x}$$ строим по точкам:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}$$

Тогда:

• $$y=\sqrt{x}-3$$ — график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вниз;
• $$y=\sqrt{x}+3$$ — график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вверх;
• $$y=\sqrt{x-3}$$ — график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вправо;
• $$y=\sqrt{x+3}$$ — график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы влево.

Найдём, при каком $$x$$ дробь

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$$

принимает наибольшее значение. Преобразуем её:

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}.$$

Так как $$\sqrt{x}+\sqrt{2} \ge \sqrt{2} > 0$$, то дробь $$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$$ наибольшая при наименьшем значении знаменателя. Минимум знаменателя достигается при $$\sqrt{x}=0$$, то есть при $$x=0$$.

Ответ

$$x=0$$.