Упр.508 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

y = vx; y = vx — 3; y = vx + 3; y = v(x — 3); y = v(x + 3). При каком значении х дробь (корень x — корень 2)/(x-2) принимает наибольшее значение?

График функции $$y=\sqrt{x}$$ строим по точкам:

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} $$

Тогда:

• $$y=\sqrt{x}-3$$ — график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вниз;
• $$y=\sqrt{x}+3$$ — график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вверх;
• $$y=\sqrt{x-3}$$ — график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вправо;
• $$y=\sqrt{x+3}$$ — график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы влево.

Найдём, при каком $$x$$ дробь

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$$

принимает наибольшее значение. Преобразуем её:

$$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}. $$

Так как $$\sqrt{x}+\sqrt{2} \ge \sqrt{2} > 0$$, то дробь $$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$$ наибольшая при наименьшем значении знаменателя. Минимум знаменателя достигается при $$\sqrt{x}=0$$, то есть при $$x=0$$.

Ответ

$$x=0$$.