Упр.504 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: При каком значении х дробь (корень x — корень 2)/(x-2) принимает наибольшее значение? Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

Преобразуем дробь:

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}.$$

Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель должен быть наименьшим. Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$\sqrt{x}+\sqrt{2}\ge \sqrt{2}.$$

Минимальное значение знаменателя достигается при $$\sqrt{x}=0,$$ то есть при $$x=0.$$

Проверим: при $$x=0$$

$$\frac{\sqrt{0}-\sqrt{2}}{0-2}=\frac{-\sqrt{2}}{-2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Это и есть наибольшее значение дроби.

Ответ

При $$x=0$$.