Упр.501 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: Найдите значение дроби (x2-3xy+y2)/(x+y+2) при х=3+ корень 5 и y= 3 — корень 5

Подставим данные значения:

$$x=3+\sqrt5,\quad y=3-\sqrt5.$$

Найдём числитель:

$$ x^2-3xy+y^2=(3+\sqrt5)^2-3(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)+(3-\sqrt5)^2. $$

Вычислим по частям:

$$ (3+\sqrt5)^2=9+6\sqrt5+5=14+6\sqrt5, $$

$$ (3-\sqrt5)^2=9-6\sqrt5+5=14-6\sqrt5, $$

$$ (3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=9-5=4. $$

Тогда

$$ x^2-3xy+y^2=(14+6\sqrt5)-3\cdot4+(14-6\sqrt5)=28-12=16. $$

Найдём знаменатель:

$$ x+y+2=(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)+2=8. $$

Следовательно,

$$ \frac{x^2-3xy+y^2}{x+y+2}=\frac{16}{8}=2. $$

Ответ

$$2$$