Упр.498 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Сократите дробь:
2. Докажите, что значения выражений $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$ и $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}\cdot\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$ являются натуральными числами.

Заметим, что

$$7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2,\qquad 7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}=\sqrt{(2+\sqrt3)^2}+\sqrt{(2-\sqrt3)^2}=2+\sqrt3+2-\sqrt3=4.$$

Следовательно, первое выражение — натуральное число.

Теперь найдём произведение:

$$\sqrt{7+4\sqrt3}\cdot\sqrt{7-4\sqrt3}=\sqrt{(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)}.$$

$$(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)=49-(4\sqrt3)^2=49-48=1,$$

значит

$$\sqrt{7+4\sqrt3}\cdot\sqrt{7-4\sqrt3}=\sqrt1=1.$$

Это тоже натуральное число.

Ответ

$$4;\ 1.$$