Упр.494 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Найдите значение дроби $$\frac{x^2-3xy+y^2}{x+y+2}$$ при $$x=3+\sqrt{5}$$ и $$y=3-\sqrt{5}$$.
2. Упростите выражение:
   а) $$(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x)$$;
   б) $$(\sqrt{a}+2)(a-2\sqrt{a}+4)$$;
   в) $$(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+n+\sqrt{mn})$$;
   г) $$(x-\sqrt{y})(x^2+y-x\sqrt{y})$$.

Найдём значение дроби при $$x=3+\sqrt5,\quad y=3-\sqrt5.$$

$$x+y+2=(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)+2=8,$$
$$x^2-3xy+y^2=(x+y)^2-5xy.$$

Вычислим:
$$x+y=6,\qquad xy=(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=9-5=4.$$
Тогда
$$x^2-3xy+y^2=6^2-5\cdot4=36-20=16.$$
Следовательно,
$$\frac{x^2-3xy+y^2}{x+y+2}=\frac{16}{8}=2.$$

Упростим выражения:

1. $$(1-\sqrt x)(1+\sqrt x+x)=1+\sqrt x+x-\sqrt x-x-x\sqrt x=1-x\sqrt x.$$
2. $$(\sqrt a+2)(a-2\sqrt a+4)=a\sqrt a-2a+4\sqrt a+2a-4\sqrt a+8=a\sqrt a+8.$$
3. $$(\sqrt m-\sqrt n)(m+n+\sqrt{mn})=(\sqrt m-\sqrt n)(m+\sqrt{mn}+n).$$
   Так как $$m=(\sqrt m)^2,\ n=(\sqrt n)^2,\ \sqrt{mn}=\sqrt m\sqrt n,$$ получаем
   $$(\sqrt m-\sqrt n)\bigl((\sqrt m)^2+\sqrt m\sqrt n+(\sqrt n)^2\bigr) =(\sqrt m)^3-(\sqrt n)^3=m\sqrt m-n\sqrt n.$$
4. $$(x+\sqrt y)(x^2+y-x\sqrt y)=x^3+xy-x^2\sqrt y+x^2\sqrt y+y\sqrt y-xy=x^3+y\sqrt y.$$

Ответ

$$2;\quad \text{а) }1-x\sqrt x;\quad \text{б) }a\sqrt a+8;\quad \text{в) }m\sqrt m-n\sqrt n;\quad \text{г) }x^3+y\sqrt y.$$