Упр.494 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (1- корень x)(1+ корень x + x);
б) (корень a+2)(a- 2 корень a + 4);
в) (корень m — корень n)(m+n+ корень mn);
г) (x- корень y)(x2+ y- x корень y).

Найдём значение дроби при $$x=3+\sqrt5,\quad y=3-\sqrt5.$$

$$ x+y+2=(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)+2=8, $$
$$ x^2-3xy+y^2=(x+y)^2-5xy. $$

Вычислим:
$$ x+y=6,\qquad xy=(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=9-5=4. $$
Тогда
$$ x^2-3xy+y^2=6^2-5\cdot4=36-20=16. $$
Следовательно,
$$ \frac{x^2-3xy+y^2}{x+y+2}=\frac{16}{8}=2. $$

Упростим выражения:

1. $$ (1-\sqrt x)(1+\sqrt x+x)=1+\sqrt x+x-\sqrt x-x-x\sqrt x=1-x\sqrt x. $$
2. $$ (\sqrt a+2)(a-2\sqrt a+4)=a\sqrt a-2a+4\sqrt a+2a-4\sqrt a+8=a\sqrt a+8. $$
3. $$ (\sqrt m-\sqrt n)(m+n+\sqrt{mn})=(\sqrt m-\sqrt n)(m+\sqrt{mn}+n). $$
   Так как $$m=(\sqrt m)^2,\ n=(\sqrt n)^2,\ \sqrt{mn}=\sqrt m\sqrt n,$$ получаем
   $$ (\sqrt m-\sqrt n)\bigl((\sqrt m)^2+\sqrt m\sqrt n+(\sqrt n)^2\bigr) =(\sqrt m)^3-(\sqrt n)^3=m\sqrt m-n\sqrt n. $$
4. $$ (x+\sqrt y)(x^2+y-x\sqrt y)=x^3+xy-x^2\sqrt y+x^2\sqrt y+y\sqrt y-xy=x^3+y\sqrt y. $$

Ответ

$$ 2;\quad \text{а) }1-x\sqrt x;\quad \text{б) }a\sqrt a+8;\quad \text{в) }m\sqrt m-n\sqrt n;\quad \text{г) }x^3+y\sqrt y. $$