Упр.491 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

корень (7 + 4 корень 3) + корень (7- 4 корень 3) и корень (7 + 4 корень 3) * корень (7 — 4 корень 3) являются натуральными числами.
Сравните числа:
а) 0,2 корень 200 и 10 корень 8;
б) 7 корень 32/49 и 0,8 корень 50;
в) 0,5 корень 108 и 9 корень 3;
г) 5/2 корень 263 и 4,5 корень 28.

1) Найдём значения выражений:

$$ \sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3} $$
$$ 7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2,\qquad 7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2 $$
$$ \sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3} =\sqrt{(2+\sqrt3)^2}+\sqrt{(2-\sqrt3)^2} =2+\sqrt3+2-\sqrt3=4 $$

$$ \sqrt{7+4\sqrt3}\cdot\sqrt{7-4\sqrt3} =\sqrt{(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)} $$
$$ =\sqrt{49-48}=\sqrt1=1 $$

Оба значения — натуральные числа.

2) Сравним числа:

1. $$ 0{,}2\sqrt{200}=0{,}2\sqrt{100\cdot2}=0{,}2\cdot10\sqrt2=2\sqrt2 $$
   $$ 10\sqrt8=10\sqrt{4\cdot2}=10\cdot2\sqrt2=20\sqrt2 $$
   Значит,
   $$ 0{,}2\sqrt{200}<10\sqrt8 $$

2. $$ 7\sqrt{\frac{32}{49}}=7\cdot\frac{\sqrt{32}}{7}=\sqrt{32} $$
   $$ 0{,}8\sqrt{50}=\sqrt{0{,}64\cdot50}=\sqrt{32} $$
   Следовательно,
   $$ 7\sqrt{\frac{32}{49}}=0{,}8\sqrt{50} $$

3. $$ 0{,}5\sqrt{108}=0{,}5\sqrt{36\cdot3}=0{,}5\cdot6\sqrt3=3\sqrt3 $$
   $$ 9\sqrt3=9\sqrt3 $$
   Значит,
   $$ 0{,}5\sqrt{108}<9\sqrt3 $$

4. $$ \frac52\sqrt{63}=\frac52\sqrt{9\cdot7}=\frac52\cdot3\sqrt7=7{,}5\sqrt7 $$
   $$ 4{,}5\sqrt{28}=4{,}5\sqrt{4\cdot7}=4{,}5\cdot2\sqrt7=9\sqrt7 $$
   Следовательно,
   $$ \frac52\sqrt{63}<4{,}5\sqrt{28} $$

Ответ

$$ \sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}=4,\qquad \sqrt{7+4\sqrt3}\cdot\sqrt{7-4\sqrt3}=1 $$
$$ 0{,}2\sqrt{200}<10\sqrt8;\quad 7\sqrt{\frac{32}{49}}=0{,}8\sqrt{50};\quad 0{,}5\sqrt{108}<9\sqrt3;\quad \frac52\sqrt{63}<4{,}5\sqrt{28} $$