Упр.488 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) x- 4 корень (x-1) + 3;
б) y +2 корень (y+2) + 3. (Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном n значение выражения корень n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 является натуральным числом?
1) Выберите произвольное значение п и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

а) Преобразуем выражение к виду квадрата разности:

$$x-4\sqrt{x-1}+3=(x-1)-4\sqrt{x-1}+4=(\sqrt{x-1})^2-2\cdot 2\sqrt{x-1}+2^2=(\sqrt{x-1}-2)^2.$$

б) Аналогично:

$$y+2\sqrt{y+2}+3=(y+2)+2\sqrt{y+2}+1=(\sqrt{y+2})^2+2\cdot \sqrt{y+2}\cdot 1+1^2=(\sqrt{y+2}+1)^2.$$

Исследуем выражение $$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}.$$

Сгруппируем множители так:

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1.$$

Тогда

$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)\bigl((n+1)(n+2)\bigr)+1 $$

Но удобнее заметить, что

$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = \bigl(n(n+3)\bigr)\bigl((n+1)(n+2)\bigr)+1. $$

Раскроем скобки:

$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n^4+6n^3+11n^2+6n+1. $$

С другой стороны,

$$ (n^2+3n+1)^2=n^4+6n^3+11n^2+6n+1. $$

Значит,

$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2. $$

Следовательно,

$$ \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=n^2+3n+1. $$

Так как $$n$$ — натуральное число, то и значение выражения является натуральным числом.

Ответ

а) $$\bigl(\sqrt{x-1}-2\bigr)^2$$; б) $$\bigl(\sqrt{y+2}+1\bigr)^2$$; да, при любом натуральном $$n$$ выражение является натуральным числом: $$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=n^2+3n+1.$$