Упр.488 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Представьте в виде квадрата суммы или квадрата разности выражение:
а) $$x-4\sqrt{x-1}+3$$;
б) $$y+2\sqrt{y+2}+3$$. - Задача-исследование. Верно ли, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}+1$$ является натуральным числом?
1) Выберите произвольное значение $$n$$ и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении $$n(n+1)(n+2)(n+3)$$, чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.
а) Преобразуем выражение к виду квадрата разности:
$$x-4\sqrt{x-1}+3=(x-1)-4\sqrt{x-1}+4=(\sqrt{x-1})^2-2\cdot 2\sqrt{x-1}+2^2=(\sqrt{x-1}-2)^2.$$
б) Аналогично:
$$y+2\sqrt{y+2}+3=(y+2)+2\sqrt{y+2}+1=(\sqrt{y+2})^2+2\cdot \sqrt{y+2}\cdot 1+1^2=(\sqrt{y+2}+1)^2.$$
Исследуем выражение $$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}.$$
Сгруппируем множители так:
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1.$$
Тогда
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)\bigl((n+1)(n+2)\bigr)+1$$
Но удобнее заметить, что
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = \bigl(n(n+3)\bigr)\bigl((n+1)(n+2)\bigr)+1.$$
Раскроем скобки:
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n^4+6n^3+11n^2+6n+1.$$
С другой стороны,
$$(n^2+3n+1)^2=n^4+6n^3+11n^2+6n+1.$$
Значит,
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.$$
Следовательно,
$$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=n^2+3n+1.$$
Так как $$n$$ — натуральное число, то и значение выражения является натуральным числом.
Ответ
а) $$\bigl(\sqrt{x-1}-2\bigr)^2$$; б) $$\bigl(\sqrt{y+2}+1\bigr)^2$$; да, при любом натуральном $$n$$ выражение является натуральным числом: $$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=n^2+3n+1.$$
