Упр.481 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Задача-исследование. Верно ли, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}+1$$ является натуральным числом?
1) Выберите произвольное значение $$n$$ и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении $$n(n+1)(n+2)(n+3)$$, чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи. - Вычислите:
а) $$3\sqrt{(-2)^6}$$;
б) $$-2\sqrt{10^4}$$;
в) $$-3\sqrt{5^4}$$;
г) $$0{,}1\sqrt{2^{10}}$$;
д) $$0{,}1\sqrt{(-3)^8}$$;
е) $$100\sqrt{0{,}1^{10}}$$;
ж) $$-\sqrt{(-2)^{12}}$$;
з) $$2{,}5\sqrt{(-0{,}1)^4}$$.
Проверим выражение при одном натуральном значении, например при $$n=2$$:
$$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5+1}=\sqrt{120+1}=\sqrt{121}=11.$$
Получили натуральное число. Докажем, что так будет при любом натуральном $$n$$.
Сгруппируем множители так:
$$n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+3)(n+1)(n+2).$$
Тогда
$$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1} =\sqrt{n(n+3)(n+1)(n+2)+1.$$
Заметим, что
$$n(n+3)=n^2+3n,$$
поэтому
$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1.$$
Обозначим $$m=n^2+3n$$. Тогда
$$m(m+2)+1=m^2+2m+1=(m+1)^2.$$
Следовательно,
$$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1} =\sqrt{(n^2+3n+1)^2} =n^2+3n+1.$$
Так как $$n$$ — натуральное число, то $$n^2+3n+1$$ тоже натуральное. Значит, выражение при любом натуральном $$n$$ является натуральным числом.
Вычислим:
- $$3\sqrt{(-2)^6}=3\cdot 2^3=3\cdot 8=24.$$
- $$-2\sqrt{10^4}=-2\cdot 10^2=-2\cdot 100=-200.$$
- $$-3\sqrt{5^4}=-3\cdot 5^2=-3\cdot 25=-75.$$
- $$0{,}1\sqrt{2^{10}}=0{,}1\cdot 2^5=0{,}1\cdot 32=3{,}2.$$
- $$0{,}1\sqrt{(-3)^8}=0{,}1\cdot 3^4=0{,}1\cdot 81=8{,}1.$$
- $$100\sqrt{0{,}1^{10}}=100\cdot 0{,}1^5=100\cdot 0{,}00001=0{,}001.$$
- $$-\sqrt{(-2)^{12}}=-2^6=-64.$$
- $$2{,}5\sqrt{(-0{,}1)^4}=2{,}5\cdot 0{,}1^2=2{,}5\cdot 0{,}01=0{,}025.$$
Ответ
При любом натуральном $$n$$ выражение является натуральным числом и равно $$n^2+3n+1$$.
а) $$24$$; б) $$-200$$; в) $$-75$$; г) $$3{,}2$$; д) $$8{,}1$$; е) $$0{,}001$$; ж) $$-64$$; з) $$0{,}025$$.
