Упр.481 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1) Выберите произвольное значение п и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.
Вычислите:
а) 3 корень (-2)6;
б) -2 корень (10)4;
в) -3 корень 5^4;
г) 0,1 корень 2^10;
д) 0,1 корень (-3)8;
е) 100 корень 0,1^10;
ж) — корень (-2)12;
з) 2,5 корень (-0,1)4.

Проверим выражение при одном натуральном значении, например при $$n=2$$:

$$\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5+1}=\sqrt{120+1}=\sqrt{121}=11.$$

Получили натуральное число. Докажем, что так будет при любом натуральном $$n$$.

Сгруппируем множители так:

$$n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+3)(n+1)(n+2).$$

Тогда

$$ \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1} =\sqrt{n(n+3)(n+1)(n+2)+1. $$

Заметим, что

$$n(n+3)=n^2+3n,$$

поэтому

$$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1. $$

Обозначим $$m=n^2+3n$$. Тогда

$$ m(m+2)+1=m^2+2m+1=(m+1)^2. $$

Следовательно,

$$ \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1} =\sqrt{(n^2+3n+1)^2} =n^2+3n+1. $$

Так как $$n$$ — натуральное число, то $$n^2+3n+1$$ тоже натуральное. Значит, выражение при любом натуральном $$n$$ является натуральным числом.

Вычислим:

1. $$3\sqrt{(-2)^6}=3\cdot 2^3=3\cdot 8=24.$$
2. $$-2\sqrt{10^4}=-2\cdot 10^2=-2\cdot 100=-200.$$
3. $$-3\sqrt{5^4}=-3\cdot 5^2=-3\cdot 25=-75.$$
4. $$0{,}1\sqrt{2^{10}}=0{,}1\cdot 2^5=0{,}1\cdot 32=3{,}2.$$
5. $$0{,}1\sqrt{(-3)^8}=0{,}1\cdot 3^4=0{,}1\cdot 81=8{,}1.$$
6. $$100\sqrt{0{,}1^{10}}=100\cdot 0{,}1^5=100\cdot 0{,}00001=0{,}001.$$
7. $$-\sqrt{(-2)^{12}}=-2^6=-64.$$
8. $$2{,}5\sqrt{(-0{,}1)^4}=2{,}5\cdot 0{,}1^2=2{,}5\cdot 0{,}01=0{,}025.$$

Ответ

При любом натуральном $$n$$ выражение является натуральным числом и равно $$n^2+3n+1$$.

а) $$24$$; б) $$-200$$; в) $$-75$$; г) $$3{,}2$$; д) $$8{,}1$$; е) $$0{,}001$$; ж) $$-64$$; з) $$0{,}025$$.