Упр.47 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Задача-исследование. Верно ли, что при всех значениях $$a$$, отличных от $$-2$$ и $$2$$, значение дроби $$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}$$ является отрицательным числом?
- Выберите произвольное значение $$a$$, отличное от $$-2$$ и $$2$$, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
- Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
- Выполните это преобразование и сделайте вывод.
- Приведите к знаменателю $$24a^3b^2$$ следующие дроби: $$\frac{5b}{8a^3}$$, $$\frac{7a}{3b^2}$$, $$\frac{1}{2ab}$$, $$\frac{2}{a^2b^2}$$.
Проверим значение дроби при каком-нибудь допустимом значении $$a$$, например при $$a=1$$:
$$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=\frac{1^2-4}{12+1^2-1^4}=\frac{-3}{12}=-\frac14<0.$$
Преобразуем знаменатель:
$$12+a^2-a^4=16-4+a^2-a^4=(4-a^2)(4+a^2)-(4-a^2)=(4-a^2)(a^2+3).$$
Тогда
$$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4} =\frac{a^2-4}{(4-a^2)(a^2+3)} =\frac{-(4-a^2)}{(4-a^2)(a^2+3)} =-\frac{1}{a^2+3}.$$
Так как $$a^2+3>0$$ при любых $$a$$, то
$$-\frac{1}{a^2+3}<0.$$
Следовательно, при всех $$a\neq -2$$ и $$a\neq 2$$ значение дроби отрицательно.
Приведём дроби к знаменателю $$24a^3b^2$$:
$$\frac{5b}{8a^3}=\frac{5b\cdot 3b^2}{8a^3\cdot 3b^2}=\frac{15b^3}{24a^3b^2}, \qquad \frac{7a}{3b^2}=\frac{7a\cdot 8a^3}{3b^2\cdot 8a^3}=\frac{56a^4}{24a^3b^2},$$
$$\frac{1}{2ab}=\frac{1\cdot 12a^2b}{2ab\cdot 12a^2b}=\frac{12a^2b}{24a^3b^2}, \qquad \frac{2}{a^2b^2}=\frac{2\cdot 24a}{a^2b^2\cdot 24a}=\frac{48a}{24a^3b^2}.$$
Ответ
$$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=-\frac{1}{a^2+3}<0.$$
$$\frac{5b}{8a^3}=\frac{15b^3}{24a^3b^2},\quad \frac{7a}{3b^2}=\frac{56a^4}{24a^3b^2},\quad \frac{1}{2ab}=\frac{12a^2b}{24a^3b^2},\quad \frac{2}{a^2b^2}=\frac{48a}{24a^3b^2}.$$
