Упр.47 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1) Выберите произвольное значение а, отличное от -2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод. Приведите к знаменателю 24а3b2 следующие дроби:
5b/8a3, 7a/3b2, 1/2ab, 2/a2b2.

1. Проверим значение дроби при каком-нибудь допустимом значении $$a$$, например при $$a=1$$:

   $$ \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=\frac{1^2-4}{12+1^2-1^4}=\frac{-3}{12}=-\frac14<0. $$

2. Преобразуем знаменатель:

   $$ 12+a^2-a^4=16-4+a^2-a^4=(4-a^2)(4+a^2)-(4-a^2)=(4-a^2)(a^2+3). $$

3. Тогда

   $$ \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4} =\frac{a^2-4}{(4-a^2)(a^2+3)} =\frac{-(4-a^2)}{(4-a^2)(a^2+3)} =-\frac{1}{a^2+3}. $$

   Так как $$a^2+3>0$$ при любых $$a$$, то

   $$ -\frac{1}{a^2+3}<0. $$

   Следовательно, при всех $$a\neq -2$$ и $$a\neq 2$$ значение дроби отрицательно.

Приведём дроби к знаменателю $$24a^3b^2$$:

$$ \frac{5b}{8a^3}=\frac{5b\cdot 3b^2}{8a^3\cdot 3b^2}=\frac{15b^3}{24a^3b^2}, \qquad \frac{7a}{3b^2}=\frac{7a\cdot 8a^3}{3b^2\cdot 8a^3}=\frac{56a^4}{24a^3b^2}, $$

$$ \frac{1}{2ab}=\frac{1\cdot 12a^2b}{2ab\cdot 12a^2b}=\frac{12a^2b}{24a^3b^2}, \qquad \frac{2}{a^2b^2}=\frac{2\cdot 24a}{a^2b^2\cdot 24a}=\frac{48a}{24a^3b^2}. $$

Ответ

$$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=-\frac{1}{a^2+3}<0.$$

$$ \frac{5b}{8a^3}=\frac{15b^3}{24a^3b^2},\quad \frac{7a}{3b^2}=\frac{56a^4}{24a^3b^2},\quad \frac{1}{2ab}=\frac{12a^2b}{24a^3b^2},\quad \frac{2}{a^2b^2}=\frac{48a}{24a^3b^2}. $$