Упр.455 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что число $$a$$ рациональное, а число $$b$$ иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число: а) $$a+b$$; б) $$a-b$$?
2. Известно, что числа $$a$$ и $$b$$ целые. Является ли целым число: а) $$a+b$$; б) $$a-b$$; в) $$ab$$; г) $$\frac{a}{b}$$ ($$b\ne0$$)?

Пусть $$a$$ — рациональное число, а $$b$$ — иррациональное.

Если бы число $$a+b$$ было рациональным, то тогда

$$b=(a+b)-a$$

было бы разностью двух рациональных чисел, а значит, рациональным. Это противоречит условию. Следовательно, $$a+b$$ — иррациональное число.

Аналогично, если бы число $$a-b$$ было рациональным, то

$$b=a-(a-b)$$

было бы рациональным, что невозможно. Значит, $$a-b$$ — иррациональное число.

Теперь пусть $$a$$ и $$b$$ — целые числа.

Сумма и разность целых чисел, а также их произведение являются целыми числами:

$$a+b \in \mathbb{Z}, \quad a-b \in \mathbb{Z}, \quad ab \in \mathbb{Z}.$$

Частное $$\dfrac{a}{b}$$ при $$b \ne 0$$ не обязательно является целым числом.

Ответ

1) $$a+b$$ — иррациональное число; $$a-b$$ — иррациональное число.

2) $$a+b$$ — целое число; $$a-b$$ — целое число; $$ab$$ — целое число; $$\dfrac{a}{b}$$ — не обязательно целое число.