Упр.45 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Найдите значение выражения:
Задача-исследование. Верно ли, что при всех значениях $$a$$, отличных от $$-2$$ и $$2$$, значение дроби $$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}$$ является отрицательным числом?
1) Выберите произвольное значение $$a$$, отличное от $$-2$$ и $$2$$, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.
Проверим значение дроби при одном из допустимых значений, например при $$a=1$$:
$$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=\frac{1^2-4}{12+1^2-1^4}=\frac{-3}{12}=-\frac14<0.$$
Теперь упростим выражение:
$$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4} =\frac{a^2-4}{16-4+a^2-a^4} =\frac{a^2-4}{(16-a^4)-(4-a^2)}.$$
Так как $$16-a^4=(4-a^2)(4+a^2)$$, получаем:
$$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4} =\frac{a^2-4}{(4-a^2)(4+a^2)-(4-a^2)} =\frac{a^2-4}{(4-a^2)(3+a^2)}.$$
Поскольку $$a^2-4=-(4-a^2)$$, то
$$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4} =-\frac{1}{3+a^2}.$$
Так как $$3+a^2>0$$ при любых значениях $$a$$, то
$$-\frac{1}{3+a^2}<0.$$
Значит, при всех допустимых значениях $$a$$, отличных от $$-2$$ и $$2$$, данная дробь является отрицательным числом.
Ответ
Да, верно: $$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}<0$$ при всех $$a\neq \pm 2$$.
