Упр.45 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1) Выберите произвольное значение а, отличное от -2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

Проверим значение дроби при одном из допустимых значений, например при $$a=1$$:

$$ \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=\frac{1^2-4}{12+1^2-1^4}=\frac{-3}{12}=-\frac14<0. $$

Теперь упростим выражение:

$$ \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4} =\frac{a^2-4}{16-4+a^2-a^4} =\frac{a^2-4}{(16-a^4)-(4-a^2)}. $$

Так как $$16-a^4=(4-a^2)(4+a^2)$$, получаем:

$$ \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4} =\frac{a^2-4}{(4-a^2)(4+a^2)-(4-a^2)} =\frac{a^2-4}{(4-a^2)(3+a^2)}. $$

Поскольку $$a^2-4=-(4-a^2)$$, то

$$ \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4} =-\frac{1}{3+a^2}. $$

Так как $$3+a^2>0$$ при любых значениях $$a$$, то

$$ -\frac{1}{3+a^2}<0. $$

Значит, при всех допустимых значениях $$a$$, отличных от $$-2$$ и $$2$$, данная дробь является отрицательным числом.

Ответ

Да, верно: $$\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}<0$$ при всех $$a\neq \pm 2$$.