Упр.449 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что числа $$a$$ и $$b$$ рациональные. Является ли рациональным число: а) $$a+b$$; б) $$a-b$$; в) $$ab$$; г) $$\frac{a}{b}$$ ($$b\ne0$$)?
2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1. Если $$a$$ и $$b$$ — рациональные числа, то сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел (при $$b \ne 0$$) также являются рациональными числами.

   Следовательно:

   а) $$a+b$$ — рациональное число;

   б) $$a-b$$ — рациональное число;

   в) $$ab$$ — рациональное число;

   г) $$\dfrac{a}{b}$$ — рациональное число при $$b \ne 0$$.

2. Освободимся от иррациональности в знаменателе:

   а)

   $$\frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} = \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}\cdot \sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}\cdot \sqrt{4-\sqrt{11}}} = \frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{16-11}} = \frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{5}}$$

   $$\frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{5}} = \frac{(4-\sqrt{11})\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}-\sqrt{55}}{5}$$

   б)

   $$\frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-3}$$

   $$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$$

   в)

   $$\frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2}} = \frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}\cdot \sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+2}\cdot \sqrt{\sqrt{5}-2}} = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-4} = \frac{\sqrt{5}-2}{1} = \sqrt{5}-2$$

Ответ

а) $$\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{55}}{5}$$; б) $$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$$; в) $$\sqrt{5}-2$$.