Упр.448 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что числа $$a$$ и $$b$$ целые. Является ли целым число: а) $$a+b$$; б) $$a-b$$; в) $$ab$$; г) $$\frac{a}{b}$$ (т. е. $$b\ne0$$)?
2. Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения: а) $$\sqrt{13+4\sqrt{4}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}$$; б) $$\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}}$$?

Если $$a$$ и $$b$$ — целые числа, то:

$$a+b$$ — целое число, так как сумма целых чисел целая;
$$a-b$$ — целое число, так как разность целых чисел целая;
$$ab$$ — целое число, так как произведение целых чисел целое;
$$\frac{a}{b}$$ при $$b \ne 0$$ не обязано быть целым числом.

Рассмотрим выражения.

а)
$$\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}$$
Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
$$13+4\sqrt{3}=12+1+2\sqrt{12}=(\sqrt{12}+1)^2,$$
$$13-4\sqrt{3}=12+1-2\sqrt{12}=(\sqrt{12}-1)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}} =\sqrt{(\sqrt{12}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{12}-1)^2} =\sqrt{12}+1-(\sqrt{12}-1)=2.$$
Значит, это рациональное число.

б)
$$\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}}$$
Заметим, что
$$19-2\sqrt{34}=17+2-2\sqrt{34}=17+2-2\sqrt{17\cdot 2}=(\sqrt{17}-\sqrt{2})^2,$$
$$19+2\sqrt{34}=17+2+2\sqrt{34}=17+2+2\sqrt{17\cdot 2}=(\sqrt{17}+\sqrt{2})^2.$$
Тогда
$$\sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}} =\sqrt{(\sqrt{17}-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{17}+\sqrt{2})^2}$$
$$=\sqrt{17}-\sqrt{2}+\sqrt{17}+\sqrt{2}=2\sqrt{17}.$$
Так как $$\sqrt{17}$$ — иррациональное число, то и $$2\sqrt{17}$$ иррационально.

Ответ

$$a+b$$ — целое; $$a-b$$ — целое; $$ab$$ — целое; $$\frac{a}{b}$$ — не обязательно целое.

а) рациональное число; б) иррациональное число.