Упр.448 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) а + b;
б) а — b;
в) ab;
г) a/b (b =/ 0)?
Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:
а) корень (13 + 4 корень 4) — корень (13- 4 корень 3);
б) корень (19 — 2 корень 34) + корень (19 + 2 корень 34)?

Подробный ответ

Если $$a$$ и $$b$$ — целые числа, то:

$$a+b$$ — целое число, так как сумма целых чисел целая;
$$a-b$$ — целое число, так как разность целых чисел целая;
$$ab$$ — целое число, так как произведение целых чисел целое;
$$\frac{a}{b}$$ при $$b \ne 0$$ не обязано быть целым числом.

Рассмотрим выражения.

а)
$$ \sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}} $$
Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
$$ 13+4\sqrt{3}=12+1+2\sqrt{12}=(\sqrt{12}+1)^2, $$
$$ 13-4\sqrt{3}=12+1-2\sqrt{12}=(\sqrt{12}-1)^2. $$
Тогда
$$ \sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}} =\sqrt{(\sqrt{12}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{12}-1)^2} =\sqrt{12}+1-(\sqrt{12}-1)=2. $$
Значит, это рациональное число.

б)
$$ \sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}} $$
Заметим, что
$$ 19-2\sqrt{34}=17+2-2\sqrt{34}=17+2-2\sqrt{17\cdot 2}=(\sqrt{17}-\sqrt{2})^2, $$
$$ 19+2\sqrt{34}=17+2+2\sqrt{34}=17+2+2\sqrt{17\cdot 2}=(\sqrt{17}+\sqrt{2})^2. $$
Тогда
$$ \sqrt{19-2\sqrt{34}}+\sqrt{19+2\sqrt{34}} =\sqrt{(\sqrt{17}-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{17}+\sqrt{2})^2} $$
$$ =\sqrt{17}-\sqrt{2}+\sqrt{17}+\sqrt{2}=2\sqrt{17}. $$
Так как $$\sqrt{17}$$ — иррациональное число, то и $$2\sqrt{17}$$ иррационально.