Упр.447 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Известно, что числа $$a$$ и $$b$$ натуральные. Является ли натуральным число: а) $$a+b$$; б) $$a-b$$; в) $$ab$$; г) $$\frac{a}{b}$$?
- Упростите выражение, вычислив предварительно значение $$a^2$$, если: а) $$a=\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}$$; б) $$a=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$$.
1) Если $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа, то:
- $$a+b$$ — натуральное число;
- $$a-b$$ — не всегда натуральное число, так как может быть отрицательным или равным нулю;
- $$ab$$ — натуральное число;
- $$\frac{a}{b}$$ — не всегда натуральное число.
Значит, натуральными являются выражения $$a+b$$ и $$ab$$.
2) Найдём $$a^2$$.
а) $$a=\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}$$
$$a^2=\left(\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}\right)^2$$
$$=11+\sqrt{85}-2\sqrt{(11+\sqrt{85})(11-\sqrt{85})}+11-\sqrt{85}$$
$$=22-2\sqrt{11^2-(\sqrt{85})^2} =22-2\sqrt{121-85} =22-2\sqrt{36} =22-12=10.$$
Следовательно, $$a=\sqrt{10}$$.
б) $$a=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$$
$$a^2=\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)^2$$
$$=3+\sqrt{5}+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}+3-\sqrt{5}$$
$$=6+2\sqrt{3^2-(\sqrt{5})^2} =6+2\sqrt{9-5} =6+2\sqrt{4} =6+4=10.$$
Следовательно, $$a=\sqrt{10}$$.
Ответ
1) $$a+b$$ и $$ab$$ — натуральные числа; $$a-b$$ и $$\frac{a}{b}$$ — не всегда натуральные.
2) а) $$a=\sqrt{10}$$; б) $$a=\sqrt{10}$$.
