Упр.447 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) а + b;
б) а-b;
в) ab;
г) a/b?
Упростите выражение, вычислив предварительно значение а2, если:
а) а = корень (11 + корень 85) — корень (11- корень 85);
б) а = корень (3 + корень 5) + корень (3 — корень 5).

Подробный ответ

1) Если $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа, то:

$$a+b$$ — натуральное число;
$$a-b$$ — не всегда натуральное число, так как может быть отрицательным или равным нулю;
$$ab$$ — натуральное число;
$$\frac{a}{b}$$ — не всегда натуральное число.

Значит, натуральными являются выражения $$a+b$$ и $$ab$$.

2) Найдём $$a^2$$.

а) $$a=\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}$$

$$ a^2=\left(\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}\right)^2 $$
$$ =11+\sqrt{85}-2\sqrt{(11+\sqrt{85})(11-\sqrt{85})}+11-\sqrt{85} $$
$$ =22-2\sqrt{11^2-(\sqrt{85})^2} =22-2\sqrt{121-85} =22-2\sqrt{36} =22-12=10. $$
Следовательно, $$a=\sqrt{10}$$.

б) $$a=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$$

$$ a^2=\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)^2 $$
$$ =3+\sqrt{5}+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}+3-\sqrt{5} $$
$$ =6+2\sqrt{3^2-(\sqrt{5})^2} =6+2\sqrt{9-5} =6+2\sqrt{4} =6+4=10. $$
Следовательно, $$a=\sqrt{10}$$.