Упр.446 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) корень (55 + корень 216);
б) корень (86 — корень 5460);
в) корень (17 + корень 288);
г) корень (32- корень 1008).

Используем формулу:

$$\sqrt{m\pm 2\sqrt{n}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b},$$

если $$a+b=m$$ и $$ab=n.$$

1. $$\sqrt{55+\sqrt{216}}=\sqrt{55+6\sqrt6}.$$

   Представим подкоренное выражение в виде квадрата суммы:

   $$55+6\sqrt6=54+1+2\sqrt{54\cdot 1}=(\sqrt{54}+1)^2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{55+\sqrt{216}}=\sqrt{(\sqrt{54}+1)^2}=\sqrt{54}+1.$$

2. $$\sqrt{86-\sqrt{5460}}=\sqrt{86-2\sqrt{1365}}.$$

   Заметим, что

   $$1365=65\cdot 21,\qquad 65+21=86.$$

   Значит,

   $$86-2\sqrt{1365}=65+21-2\sqrt{65\cdot 21}=(\sqrt{65}-\sqrt{21})^2.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{86-\sqrt{5460}}=\sqrt{65}-\sqrt{21}.$$

3. $$\sqrt{17+\sqrt{288}}=\sqrt{17+12\sqrt2}.$$

   Представим число 17 как сумму $$16+1$$:

   $$17+12\sqrt2=16+1+2\sqrt{16\cdot 1\cdot 2}=(\sqrt{16}+\sqrt{1})^2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{17+\sqrt{288}}=\sqrt{16}+\sqrt{1}=4+1=5.$$

4. $$\sqrt{32-\sqrt{1008}}=\sqrt{32-4\sqrt{63}}.$$

   Заметим, что

   $$63=14\cdot 18,\qquad 14+18=32.$$

   Тогда

   $$32-4\sqrt{63}=14+18-2\sqrt{14\cdot 18}=(\sqrt{14}-\sqrt{18})^2.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{32-\sqrt{1008}}=\sqrt{14}-\sqrt{18}.$$

Ответ

а) $$\sqrt{54}+1$$; б) $$\sqrt{65}-\sqrt{21}$$; в) $$5$$; г) $$\sqrt{14}-\sqrt{18}$$.