Упр.440 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение, вычислив предварительно значение $$a^2$$, если:
   а) $$a=\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}$$;
   б) $$a=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$$.
2. Упростите выражение $$\frac{9-x^2}{4x}\cdot\frac{8x}{x^2+6x+9}-2$$ и найдите его значение при $$x=-2{,}5$$.

1. а) Пусть $$a=\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}.$$ Тогда

   $$a^2=\left(\sqrt{11+\sqrt{85}}-\sqrt{11-\sqrt{85}}\right)^2$$
   $$=\left(11+\sqrt{85}\right)-2\sqrt{(11+\sqrt{85})(11-\sqrt{85})}+\left(11-\sqrt{85}\right)$$
   $$=22-2\sqrt{11^2-(\sqrt{85})^2} =22-2\sqrt{121-85} =22-2\sqrt{36} =22-12=10.$$

   Следовательно, $$a=\sqrt{10}.$$

2. б) Пусть $$a=\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}.$$ Тогда

   $$a^2=\left(\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}\right)^2$$
   $$=\left(3+\sqrt5\right)+2\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}+\left(3-\sqrt5\right)$$
   $$=6+2\sqrt{3^2-(\sqrt5)^2} =6+2\sqrt{9-5} =6+2\sqrt4 =6+4=10.$$

   Следовательно, $$a=\sqrt{10}.$$

3. $$\frac{9-x^2}{4x}\cdot \frac{8x}{x^2+6x+9}-2$$
   $$=\frac{(3-x)(3+x)}{4x}\cdot \frac{8x}{(x+3)^2}-2 =\frac{(3-x)(3+x)\cdot 8x}{4x(x+3)^2}-2$$
   $$=\frac{2(3-x)}{x+3}-2 =\frac{2(3-x)-2(x+3)}{x+3} =\frac{6-2x-2x-6}{x+3} =-\frac{4x}{x+3}.$$

   При $$x=-2{,}5$$:

   $$-\frac{4\cdot(-2{,}5)}{-2{,}5+3} =\frac{10}{0{,}5} =20.$$

Ответ

а) $$\sqrt{10}$$; б) $$\sqrt{10}$$; $$20$$.