Упр.439 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) корень (55 + корень 216);
б) корень (86 — корень 5460);
в) корень (17 + корень 288);
г) корень (32- корень 1008). Среди чисел
15 корень 3 — 4 корень 2, 6 — корень 12, корень 80 — 5 корень 3, корень 75 — 4 корень 5, 1/(2 корень 3-6), 1/(корень 675 — корень 32) есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.
Используем формулу:
$$\sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}=\sqrt{m}\pm \sqrt{n},$$
если $$m+n=a$$ и $$mn=b$$.
$$\sqrt{55+\sqrt{216}}=\sqrt{55+6\sqrt6}.$$
Представим подкоренное выражение в виде квадрата суммы:
$$55+6\sqrt6=54+1+2\sqrt{54\cdot 1}= (\sqrt{54}+1)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{55+\sqrt{216}}=\sqrt{54}+1.$$
$$\sqrt{86-\sqrt{5460}}=\sqrt{86-2\sqrt{1365}}.$$
Ищем квадрат разности:
$$86-2\sqrt{1365}=65+21-2\sqrt{65\cdot 21}=(\sqrt{65}-\sqrt{21})^2.$$
Значит,
$$\sqrt{86-\sqrt{5460}}=\sqrt{65}-\sqrt{21}.$$
$$\sqrt{17+\sqrt{288}}=\sqrt{17+12\sqrt2}.$$
Представим число под корнем как квадрат суммы:
$$17+12\sqrt2=8+9+2\sqrt{8\cdot 9}=(\sqrt8+\sqrt9)^2.$$
Следовательно,
$$\sqrt{17+\sqrt{288}}=\sqrt8+\sqrt9.$$
$$\sqrt{32-\sqrt{1008}}=\sqrt{32-4\sqrt{63}}.$$
Запишем подкоренное выражение как квадрат разности:
$$32-4\sqrt{63}=14+18-2\sqrt{14\cdot 18}=(\sqrt{14}-\sqrt{18})^2.$$
Тогда
$$\sqrt{32-\sqrt{1008}}=\sqrt{14}-\sqrt{18}.$$
Теперь найдём пары взаимно обратных и противоположных чисел.
Преобразуем данные числа:
$$6-\sqrt{12}=6-2\sqrt3,$$
$$\sqrt{75}-4\sqrt5=5\sqrt3-4\sqrt5,$$
$$\sqrt{80}-5\sqrt3=4\sqrt5-5\sqrt3,$$
$$\frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}=\frac{1}{15\sqrt3-4\sqrt2}.$$
Противоположными являются числа
$$\sqrt{80}-5\sqrt3 \text{ и } \sqrt{75}-4\sqrt5,$$
так как
$$\left(\sqrt{80}-5\sqrt3\right)+\left(\sqrt{75}-4\sqrt5\right)=4\sqrt5-5\sqrt3+5\sqrt3-4\sqrt5=0.$$
Взаимно обратными являются числа
$$15\sqrt3-4\sqrt2 \text{ и } \frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}},$$
так как
$$\left(15\sqrt3-4\sqrt2\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}=1.$$
Ответ
$$\sqrt{55+\sqrt{216}}=\sqrt{54}+1,$$
$$\sqrt{86-\sqrt{5460}}=\sqrt{65}-\sqrt{21},$$
$$\sqrt{17+\sqrt{288}}=\sqrt8+\sqrt9,$$
$$\sqrt{32-\sqrt{1008}}=\sqrt{14}-\sqrt{18}.$$
Противоположные числа: $$\sqrt{80}-5\sqrt3$$ и $$\sqrt{75}-4\sqrt5$$.
Взаимно обратные числа: $$15\sqrt3-4\sqrt2$$ и $$\frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}$$.
