Упр.438 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) корень (11+6 корень 2) — корень 2;
б) корень (27-5 корень 8) + корень 2. Докажите, что числа 2 — корень 3 и 2 + корень 3 являются взаимно обратными, а числа 2 корень 6 — 5 и 1/(2 корень 6 + 5) противоположными.

а) Преобразуем подкоренное выражение:

$$11+6\sqrt2=9+2+6\sqrt2=9+2\cdot 3\sqrt2+2=9+6\sqrt2+2=(3+\sqrt2)^2+2?$$

Удобнее заметить, что

$$11+6\sqrt2=(3+\sqrt2)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{11+6\sqrt2}-\sqrt2=\sqrt{(3+\sqrt2)^2}-\sqrt2=3+\sqrt2-\sqrt2=3.$$

б) Аналогично:

$$27-5\sqrt8=27-10\sqrt2=25+2-10\sqrt2=25-10\sqrt2+2=(5-\sqrt2)^2+2?$$

Заметим, что

$$27-5\sqrt8=25-10\sqrt2+2=(5-\sqrt2)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{27-5\sqrt8}+\sqrt2=\sqrt{(5-\sqrt2)^2}+\sqrt2=5-\sqrt2+\sqrt2=5.$$

Докажем взаимную обратность чисел $$2-\sqrt3$$ и $$2+\sqrt3$$:

$$\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)=4-3=1.$$

Значит, эти числа взаимно обратные.

Докажем, что числа $$2\sqrt6-5$$ и $$\dfrac{1}{2\sqrt6+5}$$ противоположные:

$$ 2\sqrt6-5+\frac{1}{2\sqrt6+5} =\frac{(2\sqrt6-5)(2\sqrt6+5)+1}{2\sqrt6+5} $$

$$ =\frac{24-25+1}{2\sqrt6+5} =\frac{0}{2\sqrt6+5}=0. $$

Следовательно, эти числа противоположные.

Ответ

а) $$3$$; б) $$5$$; $$\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)=1$$; $$2\sqrt6-5+\dfrac{1}{2\sqrt6+5}=0$$.