Упр.437 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата: а) $$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$$; б) $$\sqrt{11-4\sqrt{7}}$$.
2. Докажите, что: а) $$\sqrt{\frac{3}{5}}=0{,}2\sqrt{15}$$; б) $$\sqrt{\frac{2}{a}}=\frac{1}{a}\sqrt{2a}$$.

а) Представим подкоренное выражение в виде квадрата:

$$6+2\sqrt5=1+5+2\sqrt5=(1+\sqrt5)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{6+2\sqrt5}=\sqrt{(1+\sqrt5)^2}=1+\sqrt5.$$

б) Аналогично:

$$11-4\sqrt7=7+4-4\sqrt7=7+4-4\sqrt7-?$$

Удобнее записать так:

$$11-4\sqrt7=7+4-4\sqrt7=(\sqrt7-2)^2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{11-4\sqrt7}=\sqrt{(\sqrt7-2)^2}=\sqrt7-2.$$

Докажем равенства.

а)

$$0{,}2\sqrt{15}=\frac15\sqrt{15}=\sqrt{\frac1{25}\cdot 15}=\sqrt{\frac35}.$$

Значит,

$$\sqrt{\frac35}=0{,}2\sqrt{15}.$$

б)

$$\frac1a\sqrt{2a}=\sqrt{\frac1{a^2}\cdot 2a}=\sqrt{\frac2a}.$$

Значит,

$$\sqrt{\frac2a}=\frac1a\sqrt{2a}.$$

Ответ

а) $$\sqrt{6+2\sqrt5}=1+\sqrt5$$; б) $$\sqrt{11-4\sqrt7}=\sqrt7-2$$;
$$\sqrt{\frac35}=0{,}2\sqrt{15}, \qquad \sqrt{\frac2a}=\frac1a\sqrt{2a}.$$