Упр.432 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

15 корень 3 — 4 корень 2, 6 — корень 12, корень 80 — 5 корень 3, корень 75 — 4 корень 5, 1/(2 корень 3-6), 1/(корень 675 — корень 32) есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

Подробный ответ

Приведём все числа к более простому виду:

$$\sqrt{80}-5\sqrt{3}=4\sqrt{5}-5\sqrt{3},$$
$$\sqrt{75}-4\sqrt{5}=5\sqrt{3}-4\sqrt{5},$$
$$6-\sqrt{12}=6-2\sqrt{3},$$
$$15\sqrt{3}-4\sqrt{2},$$
$$\frac{1}{2\sqrt{3}-6}, \quad \frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}=\frac{1}{15\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.$$

Пара противоположных чисел — это числа, сумма которых равна нулю:

$$\left(4\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)+\left(5\sqrt{3}-4\sqrt{5}\right)=0.$$

Значит, противоположные числа:

$$\sqrt{80}-5\sqrt{3} \text{ и } \sqrt{75}-4\sqrt{5}.$$

Пара взаимно обратных чисел — это числа, произведение которых равно 1:

$$\left(15\sqrt{3}-4\sqrt{2}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}=1.$$

Значит, взаимно обратные числа:

$$15\sqrt{3}-4\sqrt{2} \text{ и } \frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}.$$

Освободимся от иррациональности в знаменателе:

$$\frac{1}{2\sqrt{3}-6}=\frac{1}{2(\sqrt{3}-3)}=\frac{1}{2\sqrt{3}-6}\cdot \frac{2\sqrt{3}+6}{2\sqrt{3}+6}=\frac{2\sqrt{3}+6}{(2\sqrt{3})^2-6^2}$$
$$=\frac{2\sqrt{3}+6}{12-36}=-\frac{\sqrt{3}+3}{12}.$$