Упр.419 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (корень х + 1)(корень x — 1);
б) (корень х — корень a)(корень х + корень а);
в) (корень m + корень 2)2;
г) (корень 3 — корень х)2;
д) (5 корень 7 — 13)(5 корень 7 + 13);
е) (2 корень 2 + 3 корень 3)(2 корень 2 — 3 корень 3);
ж) (6- корень 2)2+3 корень 32;
з) (корень 2 + корень 18)2 — 30. В школьной мастерской учащиеся за три дня переплели 144 книги. Сколько книг было переплетено в каждый из трёх дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на 12 книг больше, чем в первый, а в третий — 5/7 числа книг, переплетённых в первый и во второй дни вместе?

1. Используем формулу разности квадратов:

   $$\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=\left(\sqrt{x}\right)^2-1^2=x-1$$

   $$\left(\sqrt{x}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)=\left(\sqrt{x}\right)^2-\left(\sqrt{a}\right)^2=x-a$$

2. Раскроем квадрат суммы:

   $$\left(\sqrt{m}+\sqrt{2}\right)^2=\left(\sqrt{m}\right)^2+2\sqrt{m}\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2=m+2\sqrt{2m}+2$$

   $$\left(\sqrt{3}-\sqrt{x}\right)^2=\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\cdot\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^2=3-2\sqrt{3x}+x$$

3. Применим формулу разности квадратов:

   $$\left(5\sqrt{7}-13\right)\left(5\sqrt{7}+13\right)=\left(5\sqrt{7}\right)^2-13^2=25\cdot 7-169=6$$

   $$\left(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{3}\right)=\left(2\sqrt{2}\right)^2-\left(3\sqrt{3}\right)^2=4\cdot 2-9\cdot 3=-19$$

4. Раскроем скобки и упростим:

   $$\left(6-\sqrt{2}\right)^2+3\sqrt{32}=36-12\sqrt{2}+2+3\sqrt{16\cdot 2}$$
   $$=38-12\sqrt{2}+3\cdot 4\sqrt{2}=38$$

   $$\left(\sqrt{2}+\sqrt{18}\right)^2-30=\left(\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}+\left(\sqrt{18}\right)^2-30$$
   $$=2+2\sqrt{36}+18-30=2+12+18-30=2$$

5. Пусть в первый день переплели $$x$$ книг, тогда во второй — $$x+12$$ книг, а в третий — $$\frac{5}{7}(x+x+12)$$ книг.

   Составим уравнение:

   $$x+(x+12)+\frac{5}{7}(2x+12)=144$$
   $$7(2x+12)+5(2x+12)=1008$$
   $$14x+84+10x+60=1008$$
   $$24x=864$$
   $$x=36$$

   Тогда:

   $$x+12=36+12=48$$
   $$\frac{5}{7}(36+48)=\frac{5}{7}\cdot 84=60$$

Ответ

а) $$x-1$$; б) $$x-a$$; в) $$m+2\sqrt{2m}+2$$; г) $$3-2\sqrt{3x}+x$$; д) $$6$$; е) $$-19$$; ж) $$38$$; з) $$2$$; в задаче: $$36$$ книг, $$48$$ книг и $$60$$ книг.