Упр.418 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (корень 4 + корень 7) + (корень 4- корень7))2;
б) (корень 5 + 2 корень 6) — (5- 2 корень 6))2. (Для работы в парах.) Площадь треугольника S см2 со сторонами a см, b см и с см можно вычислить по формуле Герона:
S = корень р(р- а)(р- b)(р — с), где р — полупериметр треугольника.
Пользуясь калькулятором, найдите площадь треугольника, стороны которого равны:
а) 12 см, 16 см, 24 см; б) 18 см, 22 см, 26 см.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.
2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.
3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.

Подробный ответ

а)
$$\left(\sqrt{4+\sqrt7}+\sqrt{4-\sqrt7}\right)^2$$
$$=(\sqrt{4+\sqrt7})^2+2\sqrt{4+\sqrt7}\cdot\sqrt{4-\sqrt7}+(\sqrt{4-\sqrt7})^2$$
$$=4+\sqrt7+2\sqrt{(4+\sqrt7)(4-\sqrt7)}+4-\sqrt7$$
$$=8+2\sqrt{16-7}=8+2\sqrt9=8+2\cdot3=14.$$
б)
$$\left(\sqrt{5+2\sqrt6}-\sqrt{5-2\sqrt6}\right)^2$$
$$=(\sqrt{5+2\sqrt6})^2-2\sqrt{5+2\sqrt6}\cdot\sqrt{5-2\sqrt6}+(\sqrt{5-2\sqrt6})^2$$
$$=5+2\sqrt6-2\sqrt{(5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)}+5-2\sqrt6$$
$$=10-2\sqrt{25-(2\sqrt6)^2}=10-2\sqrt{25-24}=10-2\cdot1=8.$$
Площадь треугольника по формуле Герона:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p=\frac{a+b+c}{2}.$$
а) Для сторон $12$ см, $16$ см, $24$ см:
$$p=\frac{12+16+24}{2}=26,$$
$$S=\sqrt{26(26-12)(26-16)(26-24)}=\sqrt{26\cdot14\cdot10\cdot2}.$$
$$S=\sqrt{4\cdot13\cdot2\cdot7\cdot2\cdot5\cdot2}=\sqrt{16\cdot455}=4\sqrt{455}\approx 85{,}2\ \text{см}^2.$$
б) Для сторон $18$ см, $22$ см, $26$ см:
$$p=\frac{18+22+26}{2}=33,$$
$$S=\sqrt{33(33-18)(33-22)(33-26)}=\sqrt{33\cdot15\cdot11\cdot7}.$$
$$S=\sqrt{3\cdot11\cdot5\cdot3\cdot11\cdot7}=33\sqrt{35}\approx 195{,}1\ \text{см}^2.$$
Если каждую сторону увеличить в 2 раза, то полупериметр тоже увеличится в 2 раза, а площадь — в 4 раза:
$$S_1=\sqrt{2p\,(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}$$
$$=\sqrt{2p\cdot2(p-a)\cdot2(p-b)\cdot2(p-c)}=4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=4S.$$