Упр.417 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (2 корень 5 + 1)(2 корень 5 — 1);
б) (5 корень 7 — корень 13)(корень 13 + 5 корень 7);
в) (3 корень 2 — 2 корень 3)(2 корень 3 + 3 корень 2);
г) (1 + 3 корень 5)2;
д) (2 корень 3 — 7)2;
е) (2 корень 10 — корень 2)2. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства
корень 2*2/3= 2 корень 2/3,
корень 3*3/8 = 3 корень 3/8,
корень 4*4/15 = 4 корень 4/15.
Выясните, каким должно быть соотношение между числами а и b, чтобы было верно равенство корень (a + a/b) = а корень (a/b), a принадлежит N и b принадлежит N.
1) Возведите в квадрат обе части равенства.
2) Установите, каким должно быть соотношение между числами а и b.
3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

1. Используем формулу разности квадратов: $$ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 $$.

   а) $$ (2\sqrt{5}+1)(2\sqrt{5}-1)=(2\sqrt{5})^2-1^2=4\cdot 5-1=19 $$

   б) $$ (5\sqrt{7}-\sqrt{13})(\sqrt{13}+5\sqrt{7})=(5\sqrt{7})^2-(\sqrt{13})^2=25\cdot 7-13=162 $$

   в) $$ (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})=(3\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2=9\cdot 2-4\cdot 3=6 $$

2. Используем формулу квадрата суммы и квадрата разности:

   $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$

   г) $$ (1+3\sqrt{5})^2=1^2+2\cdot 1\cdot 3\sqrt{5}+(3\sqrt{5})^2=1+6\sqrt{5}+45=46+6\sqrt{5} $$

   д) $$ (2\sqrt{3}-7)^2=(2\sqrt{3})^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 7+7^2=12-28\sqrt{3}+49=61-28\sqrt{3} $$

   е) $$ (2\sqrt{10}-\sqrt{2})^2=(2\sqrt{10})^2-2\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=40-4\sqrt{20}+2=42-8\sqrt{5} $$

3. Проверим равенства:

   $$ \sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}, \qquad \sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}, \qquad \sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}} $$

   Они верны.

4. Пусть

   $$ \sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}}, \qquad a\in \mathbb{N},\ b\in \mathbb{N}. $$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$ a+\frac{a}{b}=a^2\cdot \frac{a}{b} $$

   Умножим на $$b$$:

   $$ ab+a=a^3 $$

   $$ a(b+1)=a^3 $$

   Так как $$a\neq 0$$, делим на $$a$$:

   $$ b+1=a^2 $$

   Следовательно,

   $$ b=a^2-1. $$

   Значит, равенство верно тогда и только тогда, когда $$b=a^2-1$$.

   Примеры: при $$a=2$$ получаем $$b=3$$; при $$a=3$$ — $$b=8$$; при $$a=4$$ — $$b=15$$.

Ответ

а) $$19$$; б) $$162$$; в) $$6$$; г) $$46+6\sqrt{5}$$; д) $$61-28\sqrt{3}$$; е) $$42-8\sqrt{5}$$.
Равенство $$\sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}}$$ верно при $$b=a^2-1$$.