Упр.417 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Используем формулу разности квадратов: $$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$$.

   а) $$(2\sqrt{5}+1)(2\sqrt{5}-1)=(2\sqrt{5})^2-1^2=4\cdot 5-1=19$$

   б) $$(5\sqrt{7}-\sqrt{13})(\sqrt{13}+5\sqrt{7})=(5\sqrt{7})^2-(\sqrt{13})^2=25\cdot 7-13=162$$

   в) $$(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})=(3\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2=9\cdot 2-4\cdot 3=6$$

2. Используем формулу квадрата суммы и квадрата разности:

   $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

   г) $$(1+3\sqrt{5})^2=1^2+2\cdot 1\cdot 3\sqrt{5}+(3\sqrt{5})^2=1+6\sqrt{5}+45=46+6\sqrt{5}$$

   д) $$(2\sqrt{3}-7)^2=(2\sqrt{3})^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 7+7^2=12-28\sqrt{3}+49=61-28\sqrt{3}$$

   е) $$(2\sqrt{10}-\sqrt{2})^2=(2\sqrt{10})^2-2\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=40-4\sqrt{20}+2=42-8\sqrt{5}$$

3. Проверим равенства:

   $$\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}, \qquad \sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}, \qquad \sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$$

   Они верны.

4. Пусть

   $$\sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}}, \qquad a\in \mathbb{N},\ b\in \mathbb{N}.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$a+\frac{a}{b}=a^2\cdot \frac{a}{b}$$

   Умножим на $$b$$:

   $$ab+a=a^3$$

   $$a(b+1)=a^3$$

   Так как $$a\neq 0$$, делим на $$a$$:

   $$b+1=a^2$$

   Следовательно,

   $$b=a^2-1.$$

   Значит, равенство верно тогда и только тогда, когда $$b=a^2-1$$.

   Примеры: при $$a=2$$ получаем $$b=3$$; при $$a=3$$ — $$b=8$$; при $$a=4$$ — $$b=15$$.

Ответ

а) $$19$$; б) $$162$$; в) $$6$$; г) $$46+6\sqrt{5}$$; д) $$61-28\sqrt{3}$$; е) $$42-8\sqrt{5}$$.
Равенство $$\sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}}$$ верно при $$b=a^2-1$$.