Упр.416 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (x + корень у)(х- корень y);
б) (корень а — корень b)(корень а + корень b);
в) (корень 11 — 3)(корень 11 + 3);
г) (корень 10 + корень 7)(корень 7 — корень 10);
д) (корень а + корень b)2;
е) (корень m — корень n)2;
ж) (корень 2 + 3)2;
з) (корень 5 — корень2)2. Расположите в порядке возрастания числа:
а) 3 корень 3, 2 корень 6, корень 29, 4 корень 2, 2 корень 11;
б) 6 корень 3, корень 58, 3 корень 7, 2 корень 14, 5 корень 3;
в) -корень 11, -2 корень 5, корень 2, -2 корень 6, — корень 51;
г) -корень 83, -9 корень 2, — корень 17, -5 корень 8, -1/3 корень 18.

1. Используем формулы сокращённого умножения:

   $$\left(x+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{y}\right)=x^2-y$$

   $$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b$$

   $$\left(\sqrt{11}-3\right)\left(\sqrt{11}+3\right)=11-9=2$$

   $$\left(\sqrt{10}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{10}\right)=7-10=-3$$

   $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b$$

   $$\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)^2=m-2\sqrt{mn}+n$$

   $$\left(\sqrt{2}+3\right)^2=2+2\cdot\sqrt{2}\cdot 3+9=11+6\sqrt{2}$$

   $$\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2=5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10}$$

2. Расположим числа в порядке возрастания, заменяя их удобными квадратами:

   $$3\sqrt{3}=\sqrt{27},\quad 2\sqrt{6}=\sqrt{24},\quad 4\sqrt{2}=\sqrt{32},\quad 2\sqrt{11}=\sqrt{44},\quad \sqrt{29}$$

   Значит,
   $$2\sqrt{6}<3\sqrt{3}<\sqrt{29}<4\sqrt{2}<2\sqrt{11}$$

   $$6\sqrt{3}=\sqrt{108},\quad \sqrt{58},\quad 3\sqrt{7}=\sqrt{63},\quad 2\sqrt{14}=\sqrt{56},\quad 5\sqrt{3}=\sqrt{75}$$

   Значит,
   $$2\sqrt{14}<\sqrt{58}<3\sqrt{7}<6\sqrt{3}<5\sqrt{3}$$

   $$-\sqrt{11},\quad -2\sqrt{5}=-\sqrt{20},\quad \sqrt{2},\quad -2\sqrt{6}=-\sqrt{24},\quad -\sqrt{51}$$

   Для отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль, поэтому:
   $$-\sqrt{51}<-2\sqrt{6}<-2\sqrt{5}<-\sqrt{11}<\sqrt{2}$$

   $$-\sqrt{83},\quad -9\sqrt{2}=-\sqrt{162},\quad -\sqrt{17},\quad -5\sqrt{8}=-\sqrt{200},\quad -\frac13\sqrt{18}=-\sqrt{2}$$

   Тогда:
   $$-5\sqrt{8}<-9\sqrt{2}<-\sqrt{83}<-\sqrt{17}<-\frac13\sqrt{18}$$

Ответ

1) а) $$x^2-y$$; б) $$a-b$$; в) $$2$$; г) $$-3$$; д) $$a+2\sqrt{ab}+b$$; е) $$m-2\sqrt{mn}+n$$; ж) $$11+6\sqrt{2}$$; з) $$7-2\sqrt{10}$$.

2) а) $$2\sqrt{6}<3\sqrt{3}<\sqrt{29}<4\sqrt{2}<2\sqrt{11}$$;
б) $$2\sqrt{14}<\sqrt{58}<3\sqrt{7}<6\sqrt{3}<5\sqrt{3}$$;
в) $$-\sqrt{51}<-2\sqrt{6}<-2\sqrt{5}<-\sqrt{11}<\sqrt{2}$$;
г) $$-5\sqrt{8}<-9\sqrt{2}<-\sqrt{83}<-\sqrt{17}<-\frac13\sqrt{18}$$.