Упр.411 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
Для работы в парах. Площадь треугольника $$S\ \text{см}^2$$ со сторонами $$a$$ см, $$b$$ см и $$c$$ см можно вычислить по формуле Герона: $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ — полупериметр треугольника. Пользуясь калькулятором, найдите площадь треугольника, стороны которого равны:
а) 12 см, 16 см, 24 см;
б) 18 см, 22 см, 26 см.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.
2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.
3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.
Какое из выражений не имеет смысла?
1. $$\sqrt{2\sqrt{17}-4}$$;
2. $$\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}$$;
3. $$\sqrt{6\sqrt{3}-7\sqrt{2}}$$;
4. $$\sqrt{8\sqrt{3}-14}$$.
Площадь треугольника найдём по формуле Герона:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$
где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр.
а) $$a=12\text{ см},\ b=16\text{ см},\ c=24\text{ см}.$$
$$p=\frac{12+16+24}{2}=26.$$
Тогда
$$S=\sqrt{26(26-12)(26-16)(26-24)} =\sqrt{26\cdot 14\cdot 10\cdot 2} =\sqrt{2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 13}.$$
$$S=4\sqrt{1365}\approx 84\text{ см}^2.$$
б) $$a=18\text{ см},\ b=22\text{ см},\ c=26\text{ см}.$$
$$p=\frac{18+22+26}{2}=33.$$
Тогда
$$S=\sqrt{33(33-18)(33-22)(33-26)} =\sqrt{33\cdot 15\cdot 11\cdot 7}.$$
$$S=\sqrt{3^2\cdot 11^2\cdot 5\cdot 7} =33\sqrt{35}\approx 195\text{ см}^2.$$
3) Если каждую сторону увеличить в 2 раза, то полупериметр тоже увеличится в 2 раза:
$$p’=\frac{2a+2b+2c}{2}=a+b+c=2p.$$
Тогда новая площадь:
$$S’=\sqrt{2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)} =\sqrt{2p\cdot 2(p-a)\cdot 2(p-b)\cdot 2(p-c)} =4S.$$
Значит, площадь увеличится в 4 раза.
Не имеет смысла выражение 4:
$$\sqrt{8\sqrt3-14}.$$
Действительно,
$$8\sqrt3-14<0,$$
поэтому подкоренное выражение отрицательно.
Ответ
а) $$84\text{ см}^2$$; б) $$195\text{ см}^2$$; при увеличении всех сторон в 2 раза площадь увеличится в 4 раза; не имеет смысла выражение 4.
