Упр.411 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

S = корень р(р- а)(р- b)(р — с), где р — полупериметр треугольника.
Пользуясь калькулятором, найдите площадь треугольника, стороны которого равны:
а) 12 см, 16 см, 24 см; б) 18 см, 22 см, 26 см.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.
2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.
3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.
Какое из выражений не имеет смысла?
1. корень (2 корень 17 — 4);
2. корень (2 корень 2 — корень 7);
3. корень (6 корень 3 — 7 корень 2);
4. корень (8 корень 3 — 14).

Площадь треугольника найдём по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр.

а) $$a=12\text{ см},\ b=16\text{ см},\ c=24\text{ см}.$$

$$p=\frac{12+16+24}{2}=26.$$

Тогда

$$ S=\sqrt{26(26-12)(26-16)(26-24)} =\sqrt{26\cdot 14\cdot 10\cdot 2} =\sqrt{2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 13}. $$

$$ S=4\sqrt{1365}\approx 84\text{ см}^2. $$

б) $$a=18\text{ см},\ b=22\text{ см},\ c=26\text{ см}.$$

$$p=\frac{18+22+26}{2}=33.$$

Тогда

$$ S=\sqrt{33(33-18)(33-22)(33-26)} =\sqrt{33\cdot 15\cdot 11\cdot 7}. $$

$$ S=\sqrt{3^2\cdot 11^2\cdot 5\cdot 7} =33\sqrt{35}\approx 195\text{ см}^2. $$

3) Если каждую сторону увеличить в 2 раза, то полупериметр тоже увеличится в 2 раза:

$$p’=\frac{2a+2b+2c}{2}=a+b+c=2p.$$

Тогда новая площадь:

$$ S’=\sqrt{2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)} =\sqrt{2p\cdot 2(p-a)\cdot 2(p-b)\cdot 2(p-c)} =4S. $$

Значит, площадь увеличится в 4 раза.

Не имеет смысла выражение 4:

$$\sqrt{8\sqrt3-14}.$$

Действительно,

$$8\sqrt3-14<0,$$

поэтому подкоренное выражение отрицательно.

Ответ

а) $$84\text{ см}^2$$; б) $$195\text{ см}^2$$; при увеличении всех сторон в 2 раза площадь увеличится в 4 раза; не имеет смысла выражение 4.