Упр.410 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

v(2 2/3) = 2v(2/3), v(3 2/3) = 3v(3/8), v(4 4/15) = 4v(4/15).
Выясните, каким должно быть соотношение между числами а и b, чтобы было верно равенство v(a + a/b) = av(a/b), где a ? N и b ? N.
1) Возведите в квадрат обе части равенства.
2) Установите, каким должно быть соотношение между числами а и b.
3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах. Внесите множитель под знак корня:
а) 7 корень 10;
б) 5 корень 3;
в) 6 корень x;
г) 10 корень y;
д) 3 корень 2a;
е) 5 корень 3b.

Проверим равенства, возводя обе части в квадрат.

$$\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$$
$$\left(\sqrt{2\frac{2}{3}}\right)^2=\left(2\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2$$
$$2\frac{2}{3}=4\cdot\frac{2}{3}$$
$$\frac{8}{3}=\frac{8}{3}$$
Значит, равенство верно.

$$\sqrt{3\frac{2}{3}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$$
$$\left(\sqrt{3\frac{2}{3}}\right)^2=\left(3\sqrt{\frac{3}{8}}\right)^2$$
$$3\frac{2}{3}=9\cdot\frac{3}{8}$$
$$\frac{11}{3}\ne\frac{27}{8}$$
Значит, равенство неверно. Здесь должно быть:
$$\sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}.$$

$$\sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$$
$$\left(\sqrt{4\frac{4}{15}}\right)^2=\left(4\sqrt{\frac{4}{15}}\right)^2$$
$$4\frac{4}{15}=16\cdot\frac{4}{15}$$
$$\frac{64}{15}=\frac{64}{15}$$
Значит, равенство верно.

Найдём, при каком соотношении между $$a$$ и $$b$$ верно равенство

$$\sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$a+\frac{a}{b}=a^2\cdot\frac{a}{b}$$
$$a+\frac{a}{b}=\frac{a^3}{b}$$
$$ab+a=a^3$$
$$a(b+1)=a^3.$$

Так как $$a\in \mathbb{N}$$, то $$a\ne 0$$, значит, можно разделить на $$a$$:

$$b+1=a^2,$$
$$b=a^2-1.$$

Проверим на примерах:

$$a=2,\quad b=2^2-1=3,$$
$$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

$$a=3,\quad b=3^2-1=8,$$
$$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}.$$

$$a=4,\quad b=4^2-1=15,$$
$$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}.$$

Внесём множитель под знак корня:

а) $$7\sqrt{10}=\sqrt{49\cdot 10}=\sqrt{490};$$

б) $$5\sqrt{3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75};$$

в) $$6\sqrt{x}=\sqrt{36x};$$

г) $$10\sqrt{y}=\sqrt{100y};$$

д) $$3\sqrt{2a}=\sqrt{9\cdot 2a}=\sqrt{18a};$$

е) $$5\sqrt{3b}=\sqrt{25\cdot 3b}=\sqrt{75b}.$$

Ответ

Верны равенства $$\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$$ и $$\sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$$; равенство $$\sqrt{3\frac{2}{3}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$$ неверно, правильно: $$\sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}.$$

Чтобы было верно $$\sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}},$$ нужно $$b=a^2-1.$$

а) $$\sqrt{490};$$ б) $$\sqrt{75};$$ в) $$\sqrt{36x};$$ г) $$\sqrt{100y};$$ д) $$\sqrt{18a};$$ е) $$\sqrt{75b}.$$