Упр.381 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Значение выражения корень 2 * корень 3 с помощью калькулятора можно вычислить двумя способами: найти значения 72 и 7з и результаты перемножить или заменить произведение корень 2 * корент 3 выражением Ткорень 6 и затем найти его значение. Каким из этих способов удобнее пользоваться? Выполните вычисления. Укажите натуральные значения n, при которых корень (n2 — 75) является натуральным числом.
Удобнее сначала заменить произведение корней одним корнем:
$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx 2{,}45.$$
Это проще, чем отдельно находить значения $$\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{3}$$ и затем перемножать их.
Теперь найдём натуральные значения $$n$$, при которых число $$\sqrt{n^2-75}$$ является натуральным.
Пусть
$$\sqrt{n^2-75}=x,\quad x\in \mathbb{N}.$$
Тогда
$$n^2-75=x^2,$$
$$n^2-x^2=75,$$
$$ (n-x)(n+x)=75.$$
Разложим число $$75$$ на пары натуральных множителей:
$$75=1\cdot 75,\quad 75=3\cdot 25,\quad 75=5\cdot 15.$$
Рассмотрим соответствующие системы:
$$ \begin{cases} n-x=1\\ n+x=75 \end{cases} \Rightarrow 2n=76,\ n=38,\ x=37; $$
$$ \begin{cases} n-x=3\\ n+x=25 \end{cases} \Rightarrow 2n=28,\ n=14,\ x=11; $$
$$ \begin{cases} n-x=5\\ n+x=15 \end{cases} \Rightarrow 2n=20,\ n=10,\ x=5. $$
Во всех случаях $$n$$ — натуральное число, а $$x$$ — натуральное.
Ответ
Удобнее пользоваться способом $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx 2{,}45.$$
$$n=10,\ 14,\ 38.$$
