Упр.381 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Значение выражения $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$$ с помощью калькулятора можно вычислить двумя способами: найти значения $$\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{3}$$ и результаты перемножить или заменить произведение $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$$ выражением $$\sqrt{6}$$ и затем найти его значение. Каким из этих способов удобнее пользоваться? Выполните вычисления.
2. Укажите натуральные значения $$n$$, при которых $$\sqrt{n^2-75}$$ является натуральным числом.

Удобнее сначала заменить произведение корней одним корнем:

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx 2{,}45.$$

Это проще, чем отдельно находить значения $$\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{3}$$ и затем перемножать их.

Теперь найдём натуральные значения $$n$$, при которых число $$\sqrt{n^2-75}$$ является натуральным.

Пусть

$$\sqrt{n^2-75}=x,\quad x\in \mathbb{N}.$$

Тогда

$$n^2-75=x^2,$$

$$n^2-x^2=75,$$

$$(n-x)(n+x)=75.$$

Разложим число $$75$$ на пары натуральных множителей:

$$75=1\cdot 75,\quad 75=3\cdot 25,\quad 75=5\cdot 15.$$

Рассмотрим соответствующие системы:

$$\begin{cases} n-x=1\\ n+x=75 \end{cases} \Rightarrow 2n=76,\ n=38,\ x=37;$$

$$\begin{cases} n-x=3\\ n+x=25 \end{cases} \Rightarrow 2n=28,\ n=14,\ x=11;$$

$$\begin{cases} n-x=5\\ n+x=15 \end{cases} \Rightarrow 2n=20,\ n=10,\ x=5.$$

Во всех случаях $$n$$ — натуральное число, а $$x$$ — натуральное.

Ответ

Удобнее пользоваться способом $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx 2{,}45.$$

$$n=10,\ 14,\ 38.$$