Упр.261 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=-4-\frac{x+2}{x^2+2x}$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ не имеет с графиком общих точек.
Могут ли графики функций $$y=\frac{k}{x}$$ и $$y=ax+b$$ пересекаться: а) только в одной точке; б) только в двух точках; в) в трёх точках?

Подробный ответ

Преобразуем функцию:

$$y=-4-\frac{x+2}{x^2+2x}=-4-\frac{x+2}{x(x+2)}=-4-\frac1x,\qquad x\ne 0,\ x\ne -2.$$

Это график функции $$y=-\frac1x$$, сдвинутый вниз на $$4$$ единицы. Поэтому асимптоты: $$x=0$$ и $$y=-4$$, а точка $$x=-2$$ выколота.

Найдём, при каких $$m$$ прямая $$y=m$$ не имеет общих точек с графиком. Для этого решим уравнение пересечения:

$$m=-4-\frac1x$$

$$\frac1x=-(m+4)$$

Если $$m\ne -4$$, то

$$x=-\frac1{m+4},$$

то есть общая точка есть. При $$m=-4$$ получаем

$$-4=-4-\frac1x,$$

что невозможно, значит общих точек нет. Кроме того, при $$x=-2$$ значение функции не определено, а соответствующее значение $$y$$ равно

$$y=-4-\frac1{-2}=-3{,}5.$$

Но точка $$(-2;\,-3{,}5)$$ выколота, поэтому прямая $$y=-3{,}5$$ тоже не пересекает график.

Итак, прямая $$y=m$$ не имеет общих точек с графиком при $$m=-4$$ и $$m=-3{,}5$$.

Рассмотрим пересечение графиков $$y=\frac{k}{x}$$ и $$y=ax+b$$. Приравняем:

$$\frac{k}{x}=ax+b$$

$$ax^2+bx-k=0.$$

Это квадратное уравнение, поэтому число точек пересечения зависит от числа его действительных корней.

а) только в одной точке — могут, если уравнение имеет один действительный корень;
б) только в двух точках — могут, если уравнение имеет два различных действительных корня;
в) в трёх точках — не могут, так как квадратное уравнение не может иметь три действительных корня.