Упр.261 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) только в одной точке;
б) только в двух точках;
в) в трёх точках?

Подробный ответ

Преобразуем функцию:

$$ y=-4-\frac{x+2}{x^2+2x}=-4-\frac{x+2}{x(x+2)}=-4-\frac1x,\qquad x\ne 0,\ x\ne -2. $$

Это график функции $$y=-\frac1x$$, сдвинутый вниз на $$4$$ единицы. Поэтому асимптоты: $$x=0$$ и $$y=-4$$, а точка $$x=-2$$ выколота.

Найдём, при каких $$m$$ прямая $$y=m$$ не имеет общих точек с графиком. Для этого решим уравнение пересечения:

$$ m=-4-\frac1x $$

$$ \frac1x=-(m+4) $$

Если $$m\ne -4$$, то

$$ x=-\frac1{m+4}, $$

то есть общая точка есть. При $$m=-4$$ получаем

$$ -4=-4-\frac1x, $$

что невозможно, значит общих точек нет. Кроме того, при $$x=-2$$ значение функции не определено, а соответствующее значение $$y$$ равно

$$ y=-4-\frac1{-2}=-3{,}5. $$

Но точка $$(-2;\,-3{,}5)$$ выколота, поэтому прямая $$y=-3{,}5$$ тоже не пересекает график.

Итак, прямая $$y=m$$ не имеет общих точек с графиком при $$m=-4$$ и $$m=-3{,}5$$.

Рассмотрим пересечение графиков $$y=\frac{k}{x}$$ и $$y=ax+b$$. Приравняем:

$$ \frac{k}{x}=ax+b $$

$$ ax^2+bx-k=0. $$

Это квадратное уравнение, поэтому число точек пересечения зависит от числа его действительных корней.

а) только в одной точке — могут, если уравнение имеет один действительный корень;
б) только в двух точках — могут, если уравнение имеет два различных действительных корня;
в) в трёх точках — не могут, так как квадратное уравнение не может иметь три действительных корня.