Упр.256 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$z$$ является средним гармоническим положительных чисел $$a$$ и $$b$$, причём $$a\ne b$$, то верно равенство $$\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$.
2. Найдите область определения функции и постройте её график.

Пусть $$z$$ — среднее гармоническое положительных чисел $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$z=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}.$$

Найдём левую часть:

$$\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b} = \frac{1}{\frac{2ab}{a+b}-a}+\frac{1}{\frac{2ab}{a+b}-b}.$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{\frac{2ab-a(a+b)}{a+b}}+\frac{1}{\frac{2ab-b(a+b)}{a+b}} = \frac{a+b}{ab-a^2}+\frac{a+b}{ab-b^2}.$$

Вынесем множители:

$$\frac{a+b}{a(b-a)}+\frac{a+b}{b(a-b)} = \frac{a+b}{a(b-a)}-\frac{a+b}{b(b-a)}.$$

Тогда

$$\frac{a+b}{b-a}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) = \frac{a+b}{b-a}\cdot\frac{b-a}{ab} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$$

Докажем область определения. Так как в выражении есть знаменатели $$z-a$$ и $$z-b$$, то нужно, чтобы

$$z\ne a,\quad z\ne b.$$

Но при $$a\ne b$$ и $$z=\frac{2ab}{a+b}$$ это выполняется, поскольку

$$\frac{2ab}{a+b}=a \Rightarrow 2ab=a(a+b)\Rightarrow a(b-a)=0 \Rightarrow a=b,$$

что противоречит условию. Аналогично получаем, что $$z\ne b$$.

Значит, равенство верно.

Ответ

$$\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$$