Упр.252 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Представьте в виде рациональной дроби:

Докажите, что если $$z$$ является средним гармоническим положительных чисел $$a \ne b$$, причём $$a \ne b$$, то верно равенство $$\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$.

Так как $$z$$ — среднее гармоническое положительных чисел $$a$$ и $$b$$, то

$$z=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}.$$

Тогда

$$\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b} = \frac{1}{\frac{2ab}{a+b}-a}+\frac{1}{\frac{2ab}{a+b}-b}.$$

Приведём знаменатели к общему виду:

$$\frac{1}{\frac{2ab-a(a+b)}{a+b}}+\frac{1}{\frac{2ab-b(a+b)}{a+b}} = \frac{a+b}{ab-a^2}+\frac{a+b}{ab-b^2}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{a+b}{a(b-a)}+\frac{a+b}{b(a-b)} = \frac{a+b}{a(b-a)}-\frac{a+b}{b(b-a)}.$$

Тогда

$$\frac{a+b}{b-a}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) = \frac{a+b}{b-a}\cdot\frac{b-a}{ab} = \frac{a+b}{ab}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$$

Ответ: $$\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$$