Упр.252 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1/(z-a) + 1/(z-b) = 1/a+1/b

Так как $$z$$ — среднее гармоническое положительных чисел $$a$$ и $$b$$, то

$$z=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}.$$

Тогда

$$ \frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b} = \frac{1}{\frac{2ab}{a+b}-a}+\frac{1}{\frac{2ab}{a+b}-b}. $$

Приведём знаменатели к общему виду:

$$ \frac{1}{\frac{2ab-a(a+b)}{a+b}}+\frac{1}{\frac{2ab-b(a+b)}{a+b}} = \frac{a+b}{ab-a^2}+\frac{a+b}{ab-b^2}. $$

Вынесем общий множитель:

$$ \frac{a+b}{a(b-a)}+\frac{a+b}{b(a-b)} = \frac{a+b}{a(b-a)}-\frac{a+b}{b(b-a)}. $$

Тогда

$$ \frac{a+b}{b-a}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) = \frac{a+b}{b-a}\cdot\frac{b-a}{ab} = \frac{a+b}{ab}. $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}. $$

Ответ: $$\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$$